น่าเอาไปออก IMC

[tatari/nightmare]

กำหนดวงกลม $K_1,K_2$ มีรัศมียาว $1,\sqrt{2}$ ตามลำดับและให้ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลม
ทั้งสองเท่ากับ $2$ นอกจากนี้สมมติว่าวงกลมทั้งสองตัดกันที่ $A,B$
จงหาความยาวของคอร์ด $AC$ ของวงกลม $K_2$ ซึ่งจุดกึ่งกลางของมันอยู่บนเส้นรอบวงวงกลม $K_1$
{The Old Problem from Greek book}
.......................คงไม่ต้องมี solution นะครับ..........................................

Poon.

[The jumpers]

มี Solution หน่อยก็ดีนะครับ ...(ผมงง)

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ The jumpers

มี Solution หน่อยก็ดีนะครับ ...(ผมงง)

ลองดูรูปนี้ก็แล้วกัน (ผมได้แก้รูปเพื่อให้สอดคล้องกับวิธีที่คุณtatari/nightmare แสดงแล้วครับ)

เมื่อคืนเบลอมากๆเลยคิดเลขไม่ได้(ก็เลยส่งรูปให้ดูไปก่อน) ตื่นมาเลยทำต่อให้จบครับ

จากรูปหาระยะทางจากจุด A,D ได้ AD = $\sqrt{(\frac{3\sqrt{7} }{32}+\frac{\sqrt{7}}{4})^2+(\frac{33}{32}-\frac{5}{4} )^2} $ = $\sqrt{\frac{7}{8}} $ และได้ AC = 2AD = $\sqrt{\frac{7}{2}} $

[tatari/nightmare]

ขอบคุณคุณ Puriwatt มากครับสำหรับ solution ฉบับ co-ordinated
ต่อไปเป็นของผม(ขอยืมรูปคุณ Puriwatt ใช้เลยแล้วกันนะครับ)

My solution

เราต่อ $O_2D$ ออกไปพบ $K_1$ ที่ $T$ เนื่องจาก $\angle TDA=90$
จึงได้ว่า $T,O_1,A$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เราให้ $AD=x$
ทีนี้เป็นการง่ายที่จะคำนวณหาความยาวด้านต่างๆโดยเราจะได้ดังนี้
$AT=2,AO_2=\sqrt{2},DT=\sqrt{4-x^2},DO_2=\sqrt{2-x^2}
O_1O_2=2$
ดังนั้นโดย Law of Cosine กับสามเหลี่ยม $AO_1O_2$ เราได้
$$2^2=1^2+(\sqrt{2})^2-2(1)(\sqrt{2})cos\angle O_1AO_2$$
$$\rightarrow cos\angle O_1AO_2=\frac{-1}{2\sqrt{2}}$$
ทีนี้เราใช้ Law of Cosine กับสามเหลี่ยม $ATO_2$
$$(\sqrt{4-x^2}+\sqrt{2-x^2})^2=2^2+(\sqrt{2})^2-2(2)(\sqrt{2})cos\angle O_1AO_2$$
แทนค่า $cos\angle O_1AO_2=\frac{-1}{2\sqrt{2}}$ แล้วแก้สมการหา $x$
ก็จะได้ $x=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$
ดังนั้น $AC=2x=\frac{\sqrt{14}}{2}$ ####

Poon.