sin 2

[ลูกชิ้น]

มีคนบอกมาว่า sin 2 เป็นจำนวนตรรกยะ จริงเปล่าครับ ขอวิธีพิสูจน์ ถ้าเป็นไปได้
sin 2 นี่มุมเป็น radian ครับ ไม่ใช่ degree นะครับ

[nooonuii]

โดยใช้ Lindemann-Weierstrass Theorem

เราจะได้ว่า

$e^{2i}$ เป็น transcendental number

สมมติว่า $\sin{2}$ เป็น algebraic number

เราจะได้ว่า $\cos{2}=-\sqrt{1-\sin^2{2}}$ เป็น algebraic number

ดังนั้น $e^{2i}=\cos{2}+i\sin{2}$ เป็น algebraic number

ซึ่งขัดแย้ง

ดังนั้น $\sin{2}$ เป็น transcendental number

เราจึงได้ว่า $\sin{2}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

[beginner01]

จริงๆแล้ว สามารถพิสูจน์ได้ว่า
x เป็น algebraic number ก็ต่อเมื่อ $\sin{x}$ เป็น transcendental number และ
x เป็น algebraic number ก็ต่อเมื่อ $\cos{x}$ เป็น transcendental number
ในทางกลับกัน จะได้ว่า
x เป็น transcendental number ก็ต่อเมื่อ $\sin{x}$ เป็น algebraic number และ
x เป็น transcendental number ก็ต่อเมื่อ $\cos{x}$ เป็น algebraic number
(ภาษาไทยเรียก algebraic number กับ transcendental number ว่าอะไรครับ?)

[nongtum]

algebraic number=จำนวนพีชคณิต
transcendental number=จำนวนอดิศัย

[ลูกชิ้น]

ขอบทนิยามของ algebraic number และ transcendental number ได้มั๊ยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ลูกชิ้น

ขอบทนิยามของ algebraic number และ transcendental number ได้มั๊ยครับ

algebraic number คือ จำนวนที่เป็นรากของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ เช่น จำนวนตรรกยะทั้งหมด, $\sqrt{2},i,\sqrt[5]{2+\sqrt[3]{2+\sqrt{2}}},...$

transcendental number คือ จำนวนที่ไม่เป็น algebraic number

เซตของจำนวนเชิงซ้อนที่เป็น algebraic number เป็น field ครับ

ดังนั้น การ บวก ลบ คูณ หาร (รวมทั้งการถอดรากด้วย) ของ algebraic number จะยังคงเป็น algebraic number

[ลูกชิ้น]

ถ้าเป็น transcendental number ก็จะเป็นอตรรกยะ ใช่มั๊ยครับ

ขอบคุณมากครับทุกท่าน ซูฮก