ช่วยคิดฟังก์ชันพหุนามครับ

[sharkyboy]

กำหนด P(x) เป็นเศษที่ได้จากการหาร$ x^{2007}$ ด้วย$ x^2-5x+6$ ถ้า P(0)=ab$(a^c-b^c)$ เมื่อ a,b,c เป็นค่าคงที่ จงหา $a^3+b^2+c$

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sharkyboy

กำหนด P(x) เป็นเศษที่ได้จากการหาร$ x^{2007}$ ด้วย$ x^2-5x+6$ ถ้า P(0)=ab$(a^c-b^c)$ เมื่อ a,b,c เป็นค่าคงที่ จงหา $a^3+b^2+c$

เนื่องจาก $ x^2-5x+6 = (x-3)(x-2)$ และสมมุติให้ $P(x) = mx+n$ และจะได้ว่า $P(0) = n$

เราสามารถจัดรูป $x^{2007}$ ใหม่ได้เป็น $F(x) = x^{2007} = [(x-3)(x-2)Q(x)]+[P(x)]$

ดังนั้น $F(3) = 3^{2007} = [(3-3)(3-2)Q(3)] + [3m+n] = 3m+n$

และ $F(2) = 2^{2007} = [(2-3)(2-2)Q(2)] + [2m+n] = 2m+n$

แก้สมการได้ $m = 3^{2007}-2^{2007}$ และ $n = P(0) = 3\cdot 2^{2007}-2\cdot 3^{2007}$

จัดรูป$P(0)$ใหม่ได้ $P(0) = 2\cdot3( 2^{2006}-3^{2006})) = ab(a^c-b^c)$ ดังนั้น $a = 2, b = 3, c =2006$

จะได้ว่า $a^3+b^2+c = 2^3+3^2+2006 = 2023$ ครับ

[sharkyboy]

ขอบคุณครับ