ขอเทคนิคการอินทิเกรตหน่อยครับ

[~ArT_Ty~]

คือผมอยากทราบเทคนิคการอินทิเกรตที่นอกเหนือจากของ ม.ปลายอ่ะครับ และขอตัวอย่างโจทย์ด้วยนะครับ

คือว่าผมอยากทำข้อสอบอินทิเกรตของสมาคมคณิตได้อ่ะครับ คือบางทีผมอ่านเฉลยยังไ่ค่อยเข้าใจเลยอ่ะครับ

ขอบคุณมากๆครับ ขอเป็นทฤษฎีก็ได้ครับ เพราะผมยังไม่ค่อยแม่นทฤษฎี

[Real Matrik]

ลองดูลิ้งค์นี้ครับ เผื่อเป็นประโยชน์
Click !!

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Real Matrik

ลองดูลิ้งค์นี้ครับ เผื่อเป็นประโยชน์
Click !!

ผมเคยอ่านลิงก์นี้แหละครับ โจทย์เยอะดี แต่ว่าผมเห็นโจทย์ก็ไม่รู้ว่าจะเริ่มยังไงอ่ะครับ ช่วยสอนผมด้วยนะครับ แต่ก็ขอบคุณมากนะครับ

[Ne[S]zA]

http://www.mathcenter.net/sermpra/se...pra26p01.shtml น่าจะได้นะครับ

[gon]

ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่อินทิเกรตได้บนช่วง [0, a] แล้ว.

1. $\int_{0}^{a}\,f(x) ~dx = \int_{0}^{a}\,f(a-x) ~dx$

2. $\int_{0}^{a}\,f(x) ~dx = \int_{0}^{a/2}\,f(x) ~dx + \int_{0}^{a/2}\,f(a-x) ~dx$
(โจทย์แข่ง ม.ปลายแบบคิดในใจได้ชอบเอาสมบัติข้อนี้มาใช้ )

3. $\int_{0}^{a}\,f(x) ~dx = \int_{0}^{a/2}\,f(x) ~dx + \int_{0}^{a/2}\,f(x +a/2) ~dx$

(มองว่าเป็นการเลื่อนกราฟไปทางซ้ายมือ แล้วพื้นที่ทั้งหมด จะเท่ากับพื้นที่สองส่วนบวกกัน)

4. $\int_{0}^{a}\,f(x) ~dx = \int_{0}^{a/3}\,f(x) ~dx + \int_{0}^{a/3}\,f(x +a/3) ~dx + \int_{0}^{a/3}\,f(x +2a/3) ~dx$

(มองว่าเป็นการเลื่อนกราฟไปทางซ้ายมือ แล้วพื้นที่ทั้งหมด จะเท่ากับพื้นที่สามส่วนบวกกัน เช่นนี้เรื่อยไป )

5. ถ้า $f(a-x) = f(a+x)$ แล้ว $\int_{0}^{a} \,f(x) dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{2a} \,f(x) dx $

[~ArT_Ty~]

ขอบคุณมากๆครับ ว่าแต่รบกวนขอตัวอย่างง่ายๆ ซักข้อสองข้อได้มั้ยอ่ะครับ

คือเห็นแล้วยังนิ่งอยู่เลยอ่ะครับ ไม่รู้จะใช้ยังไงดี TT

[nooonuii]

ตัวอย่าง ให้ $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง โดยที่ $f(x)+f(1-x)=1$ ทุก $x\in [0,1]$ จงหาค่าของ
$$\int_0^1 f(x)\,dx$$

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ตัวอย่าง ให้ $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง โดยที่ $f(x)+f(1-x)=1$ ทุก $x\in [0,1]$ จงหาค่าของ
$$\int_0^1 f(x)\,dx$$

ให้ $\int_{0}^{1}\,f(x)dx=I$ จะได้ว่า $\int_{0}^{1}\,f(1-x)dx=I$

$\therefore \int_{0}^{1}\,f(x)dx+\int_{0}^{1}\,f(1-x)dx=2I$

$\int_{0}^{1}\,[f(x)+f(1-x)]dx=2I$

$\int_{0}^{1}\,dx=2I \rightarrow 1=2I\rightarrow I=\frac{1}{2}$ ครับ

[gon]

1. $\int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos^n{x}}{\cos^n{x} + \sin^n{x}}\,dx$

2. $\int_{0}^{\pi} \sin^2(x - \cos{2x}) \,dx $

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

1. $\int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos^n{x}}{\cos^n{x} + \sin^n{x}}\,dx$

2. $\int_{0}^{\pi} \sin^2(x - \cos{2x}) \,dx $

ข้อ 1 ตอบ $\frac{\pi}{4}$ หรือเปล่าครับ

ข้อ 2 ให้ $f(x)=\sin^2(x-\cos 2x)$ จะได้ว่า $f(x)+f(\frac{\pi}{2}-x)=\sin^2(x-\cos 2x)+\cos^2(x-\cos 2x)=1$

ให้ $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\, f(x)dx $ จะได้ว่า $$2I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,dx=\frac{\pi}{2}$$
(จาก$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\, f(x)dx =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\, f(\frac{\pi}{2}-x)dx $)

ให้ $K=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,f(x+\frac{\pi}{2})dx$ จะได้ว่า $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,f(x+\frac{\pi}{2})dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,\cos^2(x-\cos 2x)dx=I$$

$$\therefore \int_{0}^{\pi} \sin^2(x - \cos{2x}) \,dx = I+K = 2I = \frac{\pi}{2}$$

(จาก $\int_{0}^{\pi}\,f(x) ~dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,f(x) ~dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,f(x +\frac{\pi}{2}) ~dx$)

[gon]

ถูกต้องครับ.

ตอนนี้น่าจะทำโจทย์สมาคมที่เหลืออีก 2 ข้อ ได้แล้วนะครับ.

3. $\int_{25\pi/4}^{53\pi /4}\frac{1}{(1+2^{\sin x})(1+2^{\cos x})} dx $

ถ้าต้องการ Hint กด

เลื่อนไปที่ศูนย์ก่อน กล่าวคือ $\int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{0}^{b-a}f(x+a)\,dx $ จากนั้นใช้สมบัติข้อ 2 (หรือ 3) แล้วตามด้วยสมบัติข้อ 1.

4. $\int_{0}^{\pi}\sin^4{(x+\sin 3x)}\,dx $

ถ้าต้องการ Hint กด

ใช้สมบัติข้อ 5 แล้วตามด้วยข้อ 4. จากนั้นใช้พลังตรีโกณจัดการ

[~ArT_Ty~]

ข้อ 4 ได้แล้วครับ ตอบ $\frac{3\pi}{8}$

[gon]

เฉลยละเอียดสำหรับข้อ 3 นะครับ

My_Solution

[~ArT_Ty~]

ขอบคุณมากๆครับ แล้วมีหลักยังไงบ้างครับเวลาจัดรูปการอินทิเกรตอ่ะครับ

ป.ล. พี่ Gon เอาโจทย์จากที่ไหนมาอ่ะครับ ผมจะได้ไปฝึกทำบ้าง ^^

[PP_nine]

ลองดู problems collection ที่พี่ passer-by เคยแจกเอาไว้

http://www.mathcenter.net/forum/show...176#post122176

ถ้าระดับ ม.ปลายก็ต้องดูในภาคผนวกซึ่งเป็น integral collection โดยการ by part กับแทนที่เท่านั้นเอง