ช่วยแก้โจทย์หาเศษ แบบนี้ให้หน่อยครับ

[Ulqiorra Sillfer]

$4444^{4444}$ หาร 9 เหลือเศษเท่าใด

ช่วยแสดงวิธีคิดด้วยนะครับ ใครพอทำแนวๆ คอนกรูเอนซ์เป็นก็ช่วยเสนอหน่อยครับ คือกำลังศึกษาเรื่องนี้อยู่
จะได้ใช้พอเป็นแนวได้ครับ

[DOMO]

$4444 \equiv 7 $ (mod 9)

$4444^{4444} \equiv 7^{4444} $ (mod 9)

จาก $7^3 \equiv 1 $ (mod 9)

$ 7^{4443} \equiv 1$ (mod 9)

$ 7^{4444} \equiv 7$ (mod 9)

ตอบ 7

[nooonuii]

ข้างบนเปลี่ยนจาก $0$ เป็น $1$ หรือเปล่า

[Ulqiorra Sillfer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ DOMO

$4444 \equiv 7 $ (mod 9)

$4444^{4444} \equiv 7^{4444} $ (mod 9)

จาก $7^3 \equiv 1 $ (mod 9)

$ 7^{4443} \equiv 1$ (mod 9)

$ 7^{4444} \equiv 7$ (mod 9)

ตอบ 7

ขอบคุณมากครับ ๆ วิธีทำเข้าใจง่ายดี แต่อยากทราบงว่า ถ้าเราไม่รู้หลักเรื่องมอดูโล
จะใช้วิธีแบบม ต้น แก้อย่างไรหรอครับ

[DOMO]

ถ้าไม่รู้เรื่องมอดุโล คงต้องใช้ทวินามมั้งครับ แต่มันก็ไม่ใช่ม.ต้น อยู่ดี (วิธีม.ต้นผมทำไม่เป็นครับ)

#3 แก้แล้วครับ

[Ulqiorra Sillfer]

แล้ว ข้อนี้พอมีแนวไหมครับ $3^{500}$หาร 21 เหลือเศษเท่าใด

[DOMO]

$3^{500} = 243^{100}$

$243 \equiv 12 $ (mod21)

$243^{100} \equiv 12^{100} $ (mod21)

จาก $12^{100} = 144^{50}$

$144 \equiv -3$ (mod21)

$144^{50} \equiv 3^{50}$ (mod21)

$ \equiv 243^{10}$ (mod21)

$ \equiv 12^{10}$ (mod21)

$\equiv (-3)^5$ (mod21)

$\equiv -243$ (mod21)

$\equiv -12$ (mod21)

$\equiv 9$ (mod21)

[Ulqiorra Sillfer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ DOMO

$3^{500} = 243^{100}$

$243 \equiv 12 $ (mod21)

$243^{100} \equiv 12^{100} $ (mod21)

จาก $12^{100} = 144^{50}$

$144 \equiv -3$ (mod21)

$144^{50} \equiv 3^{50}$ (mod21)

$ \equiv 243^{10}$ (mod21)

$ \equiv 12^{10}$ (mod21)

$\equiv (-3)^5$ (mod21)

$\equiv -243$ (mod21)

$\equiv -12$ (mod21)

$\equiv 9$ (mod21)

ขอบคุณจริงๆครับพอดีไม่เก่งเรื่องนี้ อยากรู้ว่า มันสามารถ หาแบบนี้ได้ทุกเลขเลยใช่ไหมมครับ เพราะผมพอทำเป็นแต่แบบใช้ให้มันเหลือเศษ 1 แล้วหาๆได้อะครับ

[DOMO]

#8

ผมว่าบางเลขมันจะติดๆบ้างอะครับ แบบติดเป็นตัวเลขเยอะๆ แล้วทำต่อไม่ได้อะครับ

ปล.ไม่ค่อยชัวร์นะครับ

[Ulqiorra Sillfer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ DOMO

#8

ผมว่าบางเลขมันจะติดๆบ้างอะครับ แบบติดเป็นตัวเลขเยอะๆ แล้วทำต่อไม่ได้อะครับ

ปล.ไม่ค่อยชัวร์นะครับ

เพราะปกติ ผมจะใช้ ทฤษฎีบทเล็กแฟร์มาตช่วยหา เศษให้ได้ 1 ก่อน แล้วค่อยทำขั้นตอนต่อไปมันจะง่ายขึ้น
แต่ ในกรณีข้อนี้ มันใช้ไม่ได้เพราะ 21 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ และยัง มี 3 เป็นตัวประกอบร่วมอีกต่างหาก
ขอบคุณที่ทำให้ครับ เป็นแนวทางคิดได้หลายข้อเลย ถ้าโจทย์ออก แนวๆนี้