คิดให้หน่อยคับ

[x-man]

มีอยู่ 2 ข้อ นะคับ
1. x และ y เป็นจำนวนจริง นิยาม x @ Y =ax+by+cxy โดยที่ a,b,c เป็นค่าคงที่ ถ้าเรารู้ว่า
1 @ 2=3 และ 2 @ 3=4 และมีจำนานจริง d ที่ไม่เท่ากับ 0 ที่ทำให้ x@d=x สำหับทุกๆจำนวนจริง x ให้หาค่าของ d
2. ให้ f(n)=1-1/2+1/3-1/4+.....+1/2n-1-1/2n
และ g(n)=1/n+1 + 1/n+2 +.......+ 1/2n
หาค่าของ ค่าสัมบูรณ์ของ f(100)-g(100)

[nooonuii]

1. 0@d = 0 --> bd=0 --> b=0
ดังนั้น x@y = ax+cxy
1@2=3=a+2c
2@3=4=2a+6c
แก้สมการจะได้
x@y=5x-xy
1@d=1 --> d=4

2. พิสูจน์โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ได้ไม่ยากว่า f(n)=g(n) ทุกจำนวนนับ n ดังนั้น f(100) - g(100) = 0

[gon]

ข้อ 2 จะแสดงว่า f(n) = g(n) ตรง ๆ ดังนี้
\[\begin{array}{rcl}
f(n) & = & 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} \\
& = & 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{2n} - 2(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \cdots + \frac{1}{2n}) \\
& = & 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{2n} - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}) \\
& = & 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \cdots + \frac{1}{2n} - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}) \\
& = & \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} \\
& = & g(n)
\end{array}\]

[x-man]

ขอบคุณ gon และ nooonuii มากๆๆๆๆๆคับ แต่ละคนสุดยอดจริงๆๆๆ