เพชรยอดมงกุฎ ปี 53

[Bally]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

บางข้อที่ว่านี่ข้อไหนบ้างครับ คนตอบจะได้ตอบให้ตรงจุด

เฉลยมาทุกข้อเลยครับ ผมจะได้ดูวิธีคิดของอื่นด้วย
ว่าเขาคิดกันแบบไหน เผื่อจะได้วิธีที่ดีกว่า+เร็วกว่าครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

อ่านที่คุณNoooNuiiถามแล้วฉุกใจ..."ซื้อหนังสือรวมข้อสอบคณิตศาสตร์เพชรยอดมงกุฎมา"....ปกติหนังสือมันมีเฉลยให้ด้วยนี่ครับ
ติดข้อไหนบอกเป็นข้อๆ หรือไม่เข้าใจเฉลยตรงไหน ในบอร์ดน่าจะมีคนยินดีอธิบายให้

มันมีเฉลย แต่เป็นแค่ตัวเลือกครับ
เช่น 1. ตอบ 1 อะไรแบบนี้ครับ
ไม่มีวิธีคิด

[Keehlzver]

ผมเสนอวิธีมองง่ายๆให้นะครับ

12) $x+\frac{1}{x}=13$ เอามายกกำลังสองต้องลงท้ายด้วยเลข 9 ลบ 2 ทิ้งไปลงท้ายด้วยเลข 7 ยกกำลัง 2 อีกครั้งลงท้ายด้วยเลข 9 ลบ 2 ทิ้งไปลงท้ายด้วยเลข 7 ซึ่งมีข้อเดียวคือข้อ 4.

16) ก. เลข 0 จะเกิดขึ้นได้นั้นต้องมี -1 กับ 1 เป็นจำนวนเท่ากัน พูดง่ายๆคือจับคู่แล้วเท่ากัน บวกกันแล้วได้ 0 แต่ในที่นี้มันมี 101 พจน์ ไม่มีทางที่จะเป็น 0 ต้องเป็น 1 หรือ -1 เท่านั้น เพราะฉะนั้นข้อนี้จึงผิด

17)สังเกตก้อนเดียวก่อน $\frac{3^2+1}{3^2-1}=\frac{3^2-1+2}{3^2-1}=1+\frac{2}{3^2-1}$ ไอก้อนๆนั่นต้องมีค่าเท่ากับ $49+\frac{2}{3^2-1}+\frac{2}{5^2-1}+...+\frac{2}{99^2-1}$ ซึ่งมากกว่า 49 แน่นอน แต่ถึง 50 หรือไม่ ดูที่ผลบวกก้อนหลัง ซึ่งมีค่าเท่ากับ $\frac{1}{2}-\frac{1}{100}$ มาจาก $\frac{2}{n^2-1}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$ ครับ เป็น telescopic สรุปว่าตอบ 49+0.5-0.01=49.49 ตอบข้อ 2

38) ใช้ผลบวกราก ผลคูณรากครับ ผมขี้เกียจพิมพ์ $z_{1},z_{2}$ ขอเป็น $a,b$ แทนละกันนะครับ $a+b=-6$ และ $ab=11$ โจทย์ถาม $(1+ab^2)(1+a^2b)=1+ab^2+a^2b+a^3b^3=1+ab(a+b)+(ab)^3=1+(11)(-6)+(11)^3$ ชัดเจนว่าเป็นบวกและลงท้ายด้วย 6 มีข้อเดียวคือ 3.

[กิตติ]

36.$f(x)=ax^5+7x^4-x^2+x+b=Q(x)(x+1)^2+3x+1$
แทน $x=-1$
$-a+7-1-1+b=-2$
$b-a=-7$........(1)
แทน $x=0$
$b=Q(x)+1$.........(2)
แทน $x=1$
$a+7-1+1+b=4Q(x)+4$
$4Q(x)=a+b+3$........(3)
(2)คูณด้วย4 $4Q(x)=4b-4$......(4)
(3)=(4) $4b-4=a+b+3\rightarrow a-3b=-7$.......(5)
(1)+(5) $b=7$
ได้ $a=14$
$\frac{a}{b} =2 $
ไม่มีในตัวเลือก ไม่รู้ว่าคิดผิดตรงไหน ทวนสองสามรอบแล้วก็หาไม่เจอ..สงสัยเริ่มมึนแล้ว

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

36.$f(x)=ax^7+7x^4-x^2+x+b=Q(x)(x+1)^2+3x+1$
แทน $x=-1$
$-a+7-1-1+b=-2$
$b-a=-7$........(1)
แทน $x=0$
$b=Q(x)+1$.........(2)
แทน $x=1$
$a+7-1+1+b=4Q(x)+4$
$4Q(x)=a+b+3$........(3)
(2)คูณด้วย4 $4Q(x)=4b-4$......(4)
(3)=(4) $4b-4=a+b+3\rightarrow a-3b=-7$.......(5)
(1)+(5) $b=7$
ได้ $a=14$
$\frac{a}{b} =2 $
ไม่มีในตัวเลือก ไม่รู้ว่าคิดผิดตรงไหน ทวนสองสามรอบแล้วก็หาไม่เจอ..สงสัยเริ่มมึนแล้ว

แทน x=1 มันจะเป็น Q(1) ไม่ใช่ Q(X) อะไรทำนองนี้หล่ะครับ

หรือเขาจะให้หารยาว

[กิตติ]

ขอบคุณครับคุณpolsk133....ใช่แล้วครับตามที่บอก หารยาวก็ข้ามไปทำข้ออื่นก่อน

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ขอบคุณครับคุณpolsk133....ใช่แล้วครับตามที่บอก หารยาวก็ข้ามไปทำข้ออื่นก่อน

เห็นด้วยอย่างยิ่งครับ

[กิตติ]

22. $f(x)=(1+x+x^2+...+x^{27})(1+x+x^2+...+x^{14})(1+x+x^2+...+x^{14})$
หาสปส.ของ $x^{28}$
ผมดูให้เป็น $(x^0+x^1+x^2+...+x^{27})(x^0+x^1+x^2+...+x^{14})(x^0+x^1+x^2+...+x^{14})$
ดูเป็นกล่อง 3 กล่องที่กล่องแรกมีบัตรเลข 0 ถึง 27 ,กล่องที่สองมีบัตรเลข 0 ถึง 14 และกล่องที่สามมีบัตรเลข 0 ถึง 14
หยิบบัตรจากแต่ละกล่องมาหนึ่งใบ รวมเป็นสามใบแล้วได้ผลรวมเป็น $28$
หยิบจากกล่องแรกเป็น
1.0 ได้ 1 วิธี อีกสองกล่องเป็น 14กับ14
2.1 ได้ 2 วิธี อีกสองกล่องเป็น 13กับ14
3.2 ได้ 3 วิธี อีกสองกล่องเป็น 12+14,13+13
4.3 ได้ 4 วิธี อีกสองกล่องเป็น 11+14,12+13
5.4 ได้ 5 วิธี อีกสองกล่องเป็น 12+12,11+13,10+14
6.5 ได้ 6 วิธี อีกสองกล่องเป็น 11+12,10+13,9+14
7.6 ได้ 7 วิธี อีกสองกล่องเป็น 11+11,10+12,9+13,8+14
8.7 ได้ 8 วิธี อีกสองกล่องเป็น 10+11,9+12,8+13,7+14
9.8 ได้ 9 วิธี อีกสองกล่องเป็น 9+11,10+10,8+12,7+13,6+14
10.9 ได้ 10 วิธี อีกสองกล่องเป็น 8+11,9+10,7+12,6+13,5+14
11.10 ได้ 11 วิธี อีกสองกล่องเป็น 7+11,8+10,9+9,6+12,5+13,4+14
12.11 ได้ 12 วิธี อีกสองกล่องเป็น 6+11,7+10,8+9,5+12,4+13,3+14
13.12 ได้ 13 วิธี อีกสองกล่องเป็น 5+11,6+10,7+9,4+12,3+13,2+14,8+8
14.13 ได้ 14 วิธี อีกสองกล่องเป็น 4+11,5+10,6+9,3+12,2+13,1+14,7+8
15.14ได้ 15 วิธี อีกสองกล่องเป็น 3+11,4+10,5+9,2+12,1+13,0+14,7+7,8+6
16.15ได้ 14 วิธี อีกสองกล่องเป็น 2+11,3+10,4+9,1+12,0+13,5+8,7+6
17.16ได้ 13 วิธี อีกสองกล่องเป็น 1+11,2+10,3+9,0+12,5+7,6+6,4+8
เริ่มย้อนกลับ
พิจารณาย้อนกลับจากบัตรหมายเลขท้ายๆ
บัตรหมายเลข 27 ได้ 2 วิธี อีกสองกล่องเป็น0+1
บัตรหมายเลข 26 ได้ 3 วิธี อีกสองกล่องเป็น0+2,1+1
บัตรหมายเลข 25 ได้ 4 วิธี อีกสองกล่องเป็น0+3,2+1
บัตรหมายเลข 24 ได้ 5 วิธี อีกสองกล่องเป็น0+4,3+1,2+2
บัตรหมายเลข 23 ได้ 6 วิธี อีกสองกล่องเป็น0+5,3+2,4+1
บัตรหมายเลข 22 ได้ 7 วิธี อีกสองกล่องเป็น0+6,3+3,4+2,5+1
บัตรหมายเลข 21 ได้ 8 วิธี อีกสองกล่องเป็น0+7,3+4,5+2,6+1
บัตรหมายเลข 20 ได้ 9 วิธี อีกสองกล่องเป็น0+8,3+5,4+4,6+2,7+1

ดังนั้น สปส.ของ $x^{28}$ คือ $2(1+2+3+...+14)+15-1$
เท่ากับ $224$
เล่นเอาเหงื่อตกเลย

[กิตติ]

9.$(11-x)^3+(13-x)^3=(24-2x)^3$
ให้ $11-x=a,13-x=b,2x-24=c$
$(11-x)^3+(13-x)^3-(24-2x)^3=0$
$(11-x)^3+(13-x)^3+(2x-24)^3=0$
$a^3+b^3+c^3=0$ และ $a+b+c=0$
จะได้ว่า $abc=0$
$(11-x)(13-x)(24-2x)=0$
$x=11,12,13$
ผลบวกของรากสมการคือ $36$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

22. $f(x)=(1+x+x^2+...+x^{27})(1+x+x^2+...+x^{14})(1+x+x^2+...+x^{14})$
หาสปส.ของ $x^{28}$
ผมดูให้เป็น $(x^0+x^1+x^2+...+x^{27})(x^0+x^1+x^2+...+x^{14})(x^0+x^1+x^2+...+x^{14})$
ดูเป็นกล่อง 3 กล่องที่กล่องแรกมีบัตรเลข 0 ถึง 27 ,กล่องที่สองมีบัตรเลข 0 ถึง 14 และกล่องที่สามมีบัตรเลข 0 ถึง 14
หยิบบัตรจากแต่ละกล่องมาหนึ่งใบ รวมเป็นสามใบแล้วได้ผลรวมเป็น $28$
หยิบจากกล่องแรกเป็น
1.0 ได้ 1 วิธี อีกสองกล่องเป็น 14กับ14
2.1 ได้ 2 วิธี อีกสองกล่องเป็น 13กับ14
3.2 ได้ 3 วิธี อีกสองกล่องเป็น 12+14,13+13
4.3 ได้ 4 วิธี อีกสองกล่องเป็น 11+14,12+13
5.4 ได้ 5 วิธี อีกสองกล่องเป็น 12+12,11+13,10+14
6.5 ได้ 6 วิธี อีกสองกล่องเป็น 11+12,10+13,9+14
7.6 ได้ 7 วิธี อีกสองกล่องเป็น 11+11,10+12,9+13,8+14
8.7 ได้ 8 วิธี อีกสองกล่องเป็น 10+11,9+12,8+13,7+14
9.8 ได้ 9 วิธี อีกสองกล่องเป็น 9+11,10+10,8+12,7+13,6+14
10.9 ได้ 10 วิธี อีกสองกล่องเป็น 8+11,9+10,7+12,6+13,5+14
11.10 ได้ 11 วิธี อีกสองกล่องเป็น 7+11,8+10,9+9,6+12,5+13,4+14
12.11 ได้ 12 วิธี อีกสองกล่องเป็น 6+11,7+10,8+9,5+12,4+13,3+14
13.12 ได้ 13 วิธี อีกสองกล่องเป็น 5+11,6+10,7+9,4+12,3+13,2+14,8+8
14.13 ได้ 14 วิธี อีกสองกล่องเป็น 4+11,5+10,6+9,3+12,2+13,1+14,7+8
15.14ได้ 15 วิธี อีกสองกล่องเป็น 3+11,4+10,5+9,2+12,1+13,0+14,7+7,8+6
16.15ได้ 14 วิธี อีกสองกล่องเป็น 2+11,3+10,4+9,1+12,0+13,5+8,7+6
17.16ได้ 13 วิธี อีกสองกล่องเป็น 1+11,2+10,3+9,0+12,5+7,6+6,4+8
เริ่มย้อนกลับ
พิจารณาย้อนกลับจากบัตรหมายเลขท้ายๆ
บัตรหมายเลข 27 ได้ 2 วิธี อีกสองกล่องเป็น0+1
บัตรหมายเลข 26 ได้ 3 วิธี อีกสองกล่องเป็น0+2,1+1
บัตรหมายเลข 25 ได้ 4 วิธี อีกสองกล่องเป็น0+3,2+1
บัตรหมายเลข 24 ได้ 5 วิธี อีกสองกล่องเป็น0+4,3+1,2+2
บัตรหมายเลข 23 ได้ 6 วิธี อีกสองกล่องเป็น0+5,3+2,4+1
บัตรหมายเลข 22 ได้ 7 วิธี อีกสองกล่องเป็น0+6,3+3,4+2,5+1
บัตรหมายเลข 21 ได้ 8 วิธี อีกสองกล่องเป็น0+7,3+4,5+2,6+1
บัตรหมายเลข 20 ได้ 9 วิธี อีกสองกล่องเป็น0+8,3+5,4+4,6+2,7+1

ดังนั้น สปส.ของ $x^{28}$ คือ $2(1+2+3+...+14)+15-1$
เท่ากับ $224$
เล่นเอาเหงื่อตกเลย

$$(1+x+x^2+x^3+...+x^{27})(1+x+x^2+x^3+...+x^{14})^2$$ $$=(1+x+x^2+x^3+...+x^{27})(1+2x+3x^2+...+15x^{14}+...+3x^{26}+2x^{27}+x^{28})$$
ลองไล่คูณดูจะพบว่า $x^{28}$ คือการคูณพจน์แรกในวงเล็บแรกกับพจน์สุดท้ายของวงเล็บหลัง แล้วก็ไล่เข้ามาเรื่อยๆ ยกเว้นพจน์สุดท้ายของวงเล็บแรกกับพจน์แรกของวงเล็บที่สอง$(x^{27})$

ดังนั้นสัมประสิทธิ์ $=1+2+3+4+...+14+15+14+...3+2=1+2(2+3+4+...+14)+15=224$
ก็พอจะช่วยให้เสียเหงื่อน้อยลงได้นะครับ

[polsk133]

มาเพิ่มให้อีกสองวิธีครับ (วันนี้ยอมนอนดึกซะเลย แต่ก็ได้ความรู้ที่ลืมไปแล้วกลับมา)

1.วิธีเพิ่มเข้า-ตัดออก

มันก็คือ $x_1+x_2+x_3=28$

โดยที่ $x_i\in Z และ 0\leqslant x_i และ x_1\leqslant 27 และ x_2,x_3\leqslant 14$

2.วิธีที่ใช้คิดในเรื่องฟังก์ชันก่อกำเนิด

มันจะได้ $\frac{(1-x^{28})(1-x^15)^2}{(1-x)^3}$

$=(-x^{58}+2x^{43}-x^{28}+x^{30}-2x^{15}+1)\sum_{n = 0}^{\infty}\binom{n+3-1}{n}x^n$

$= (-x^{58}+2x^{43}-x^{28}+x^{30}-2x^{15}+1)\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^2+3n+2}{2}x^n$

ได้สัมประสิทธิ์ $x^{28}$ คือ $-1 -2 \times \frac{13^2+3(13)+2}{2} + \frac{28^2+3(28)+2}{2} = 224$

[Keehlzver]

ผิดตรงที่แทน $x=1$ ก็ต้องได้ $Q(1)$ ครับ $x=0$ ก็ต้องได้ $Q(0)$ จับมาเท่ากันแบบนั้นไม่ได้ นอกจากโจทย์สามารถกำหนดเพิ่มเติมได้ว่า $Q(0)=Q(1)$ ครับ

18. ใช้บวกเข้าตัดออก ตอบ 2000 ครับ จับบวกหมดใน U ก่อนลบด้วยพวกที่มี 2 หรือ 5 เป็นตัวประกอบ บวกเข้าด้วยพวกที่มี 2 และ 5 เป็นตัวประกอบ
25. มุกเดียวกันใช้บวกเข้าตัดออกครับ ตอบ 3733

22. ใช้ Generating function ก็ได้ครับ
$f(x)=(\frac{1-x^{28}}{1-x})(\frac{1-x^{15}}{1-x})(\frac{1-x^{15}}{1-x})=(1-x^{28})(x^{30}-2x^{15}+1)\sum_{r = 1}^{\infty} \binom{r+2}{r}x^r$
เอาสัมประสิทธิ์ $x^{28}$ มีได้ 3 กรณี
1.เลือก $1$ จากวงเล็บแรก และ $1$ จากวงเล็บกลาง และ $\binom{30}{28}x^{28}$ จากวงเล็บสุดท้าย
2.เลือก $1$ จากวงเล็บแรก และ $-2x^{15}$ จากวงเล็บกลาง และ $-2\binom{15}{13}x^{13}$ จากวงเล็บหลัง
3. เลือก $-x^{28}$ จากวงเล็บแรก และ $1$ จากวงเล็บกลาง และ $\binom{2}{0}$ จากวงเล็บหลัง
รวมกันก็ตอบ $\binom{30}{28}-\binom{2}{0}-2\binom{15}{13}=224$

สูตร Generating function ที่ใช้ทำข้อนี้ก็มี $(1+x)^{-n}=\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^r\binom{n+r-1}{r}x^r$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกและ $|x|<1$ ครับ
ซึ่งเกินเนื้อหาม.ปลาย วิธีที่คนออกโจทย์ต้องการให้ใช้จริงๆ คือวิธีของคุณ poper ครับ สังเกตเอาแล้วก็กระจายจาก Multinomial แต่คุณจะใช้ของบ้าๆที่ผมโพสต์ไปก็ได้ครับ

[Amankris]

#22 & #23
ถ้าหารยาวจนเบื่อแล้ว ลองใช้อนุพันธ์ดูไหม หรือ จะเปลี่ยนตัวแปรดี

[กิตติ]

ขอบคุณมากครับทุกท่านที่ช่วยแนะนำ...ลืมวิธีแรกของคุณpolsk133 ไปเลยหลังไม่ได้ใช้มาน๊านนาน
ลืมวิธีใช้อนุพันธ์ไปเลย ขอบคุณครับคุณAmankris
ขอบคุณวิธีจากคุณPoperและข้อแนะนำของคุณKeehlzver เช่นกันครับ

[กิตติ]

36.$f(x)=ax^5+7x^4-x^2+x+b=Q(x)(x+1)^2+3x+1$.....(1)
$5ax^4+28x^3-2x+1=2(x+1)Q(x)+Q'(x)(x+1)^2+3$.....(2)
แทน $x=-1$ ใน (2)
$5a-28+2+1=3 \rightarrow a=\frac{28}{5} $
แทน $x=-1$ ใน (1)
$-a+7-1-1+b=-2$
$b-a=-7 \rightarrow b=a-7=-\frac{7}{5} $
$\frac{a}{b}=-4 $

[banker]

$\frac{3^2+1}{3^2-1} = \frac{3^2 -1 +2}{3^2-1} = 1 + \frac{2}{3^2-1} = 1 + \frac{1}{3-1} - \frac{1}{3+1}$

$\frac{5^2+1}{5^2-1} = \frac{5^2 -1 +2}{5^2-1} = 1 + \frac{2}{5^2-1} = 1 + \frac{1}{5-1} - \frac{1}{5+1}$

$\frac{7^2+1}{7^2-1} = \frac{7^2 -1 +2}{7^2-1} = 1 + \frac{2}{7^2-1} = 1 + \frac{1}{7-1} - \frac{1}{7+1}$
.
.
.
$\frac{99^2+1}{99^2-1} = \frac{99^2 -1 +2}{99^2-1} = 1 + \frac{2}{99^2-1} = 1 + \frac{1}{99-1} - \frac{1}{99+1}$

มีทั้งหมด 49 พจน์ ผลรวมทั้งหมดเท่ากับ

$49 + \frac{1}{3-1} - \frac{1}{99+1} = 49 + \frac{1}{2} - \frac{1}{100} = 49.49$

$49 < a < 49.5$


ตอบ ข้อ 2