ข้อสอบ 7th TMO

[passer-by]

link TMO ครั้งที่ 5 ผม update ให้แล้วใน กระทู้รวมข้อสอบ ม.ปลาย นะครับ

[tatari/nightmare]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ the WoRLD

ผมเป็นหนึ่งใน3คนในการแข่งขันที่ทำข้อ5วันที่2ได้
ผมได้19คะแนนได้ไป สสวท ค่าย1
(ข้อ5แทนx=x+t,y=y+tแล้วแทนกลับก็จบเลย)
ผมรู้เฉลยของทุกข้อ

...........โห ยินดีด้วยนะครับที่ได้เข้าค่าย 1 สสวท.
เก่งขนาดนี้คงได้เป็นตัวแทนประเทศไทยไปแข่ง IMO(ไอ-โม้)แน่เลยครับ

[DARK SWORD]

เหนด้วยกับคุณtatari/nightmareครับ
เก่งกันจังเลยครับ
อยากเก่งบ้างอะ.....

[Aquarious]

คุณ the WoRLD นี่เทพจิงๆขนาดศูนย์ผมยังไม่มีใครได้คะแนนจากข้อนั้นเลยคับ

[DARK SWORD]

อ่า คือ.......

[Toru]

ใจเย็นๆนะครับทั้ง 2 ฝ่าย แค่ตอนนี้สภาพบ้านเมืองก็แย่แล้ว อย่าให้สังคมดีๆต้องแตกแยกนะครับ ผมว่าพอทั้งคู่นะๆ

[Suwiwat B]

เห็นด้วยกับคุณ Toru นะครับ

[chriswgg]

ง่ายจังเลย

[kimchiman]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ chriswgg

ง่ายจังเลย

ที่คุณ chriswgg บอกว่าง่ายนี่ หมายถึงอะไรหรอครับ
ปล. เปลี่ยนลายเซ็นซะเถอะครับ มันดู...ยังไงก็ไม่รู้ครับ

[picmy]

ไม่รู้ว่ามีคนรู้สึกเหมือนผมบ้างหรือเปล่า ผมว่าโจทย์วันแรกข้อ ๘ มันดูแปลกๆอะครับ

ประเด็นที่หนึ่ง โจทย์ไม่ระบุมาให้ชัดเจนว่า $m\not=n $ ซึ่งเราจะเห็นได้ชัดเจนว่า ถ้า $m=n$ ก็จะได้ว่า $d(m,n)=0 \leq 36$ ซึ่งก็ไม่ต้องพิสูจน์อะไรเลย (และก็จะทำให้โจทย์ข้อนี้กลายเป็นปัญหาเชาว์ไปทันที )

ประเด็นที่สอง ถึงจะกำหนดให้ $m\not=n $ โจทย์ก็ดูเหมือนว่าจะยังคงมีปัญหาอยู่เช่นเคย

พิจารณาฟังก์ชันข้างล่างดูนะครับ

$D(t) = \cases{0 & , t=0 \cr 482 & , t=1 \cr 964 & , t=2 \cr 1107 & , t=3 \cr 847 & , t=4 \cr 994 & , t=5 \cr 339 & , t=6 \cr 821 & , t=7 \cr 1250 & , t=8 \cr 768 & , t=9 \cr 286 & , t=10 \cr 196 & , t=11 \cr 678 & , t=12 \cr 1160 & , t=13 \cr 911 & , t=14 \cr 429 & , t=15 \cr 53 & , t=16 \cr 535 & , t=17 \cr 1017 & , t=18 \cr 1054 & , t=19 \cr 572 & , t=20 \cr 90 & , t=21 \cr 392 & , t=22 \cr 874 & , t=23 \cr 1197 & , t=24 \cr 715 & , t=25 \cr 233 & , t=26 \cr 249 & , t=27 \cr 731 & , t=28 \cr 1213 & , t=29 \cr 858 & , t=30 \cr 376 & , t=31 \cr 106 & , t=32 \cr 588 & , t=33 \cr 1070 & , t=34 \cr 1001 & , t=35 \cr 519 & , t=36 \cr t & , 36<t \leq 1276 \cr D(2553-t) & , 1277 \leq t \leq 2552}$

ไม่ยากที่จะเห็นว่า $(D(t))^2\equiv t^2 (mod 2553)$ (ทุก $0\leq t \leq 2552$) และ $36<D(t)\leq 1276$ (ทุก $0<t\leq 2552$)

ตอนนี้เราก็จะมาสร้าง $d(x,y)$ จาก $D(t)$
กำหนดให้ $d(x,y)=D(t)$ โดยที่ $t\equiv |x-y| (mod 2553)$ และ $0\leq t \leq 2552$

เช่น $d(1,2)=D(1)=482$ ,
$ d(3,4000)=D(1444)=1109 $,
$ d(120,90)=D(30)=858 $,
$d(1345,321)=D(1024)=1024$ เป็นต้น

ไม่ยากที่จะแสดงว่า $(d(x,y))^2\equiv (x-y)^2(mod 2553)$ และ $0\leq d(x,y)\leq 1276$ ซึ่งก็สอดคล้องกับที่โจทย์กำหนด แต่ว่าเนื่องจาก $36<D(t)\leq 1276$ (ทุก $0<t\leq 2552$) ดังนั้นจะเห็นได้ว่า ไม่ว่า $x,y$ จะเป็นอะไร ถ้า $x\not\equiv y (mod 2553)$ ก็จะได้ว่า $d(x,y)>36$ เสมอ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ picmy

ไม่รู้ว่ามีคนรู้สึกเหมือนผมบ้างหรือเปล่า ผมว่าโจทย์วันแรกข้อ ๘ มันดูแปลกๆอะครับ

รู้สึกมาตั้งนานเหมือนกันครับ ว่าแปลกๆ แปลกจนผมต้องโทรไปหาอาจารย์ที่มี official solutions ในมือ เมื่อกลางเดือนก่อน พอเห็น solutions ยิ่งทำให้ผม แปลกใจหนักกว่าเดิม เพราะว่า เขาสรุปแบบงงๆ ประมาณ ว่า $ d(x,y) = \left |\ \bar x - \bar y \right| $ โดย bar ในที่นี้แทนเศษใน mod 2553

แต่ที่ผมยังไมได้ post เพราะยังนึก counterexample ไม่ออก จนกระทั่งคุณ picmy มา post นี่แหละครับ ถึงได้มั่นใจว่า ไม่ได้มีผมคิดมากอยู่คนเดียว

[picmy]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

รู้สึกมาตั้งนานเหมือนกันครับ ว่าแปลกๆ แปลกจนผมต้องโทรไปหาอาจารย์ที่มี official solutions ในมือ เมื่อกลางเดือนก่อน พอเห็น solutions ยิ่งทำให้ผม แปลกใจหนักกว่าเดิม เพราะว่า เขาสรุปแบบงงๆ ประมาณ ว่า $ d(x,y) = \left |\ \bar x - \bar y \right| $ โดย bar ในที่นี้แทนเศษใน mod 2553

เป็นไปได้อย่างมากครับว่า อาจารย์ผู้ออกข้อสอบอาจมองพลาดไปว่า 2553 เป็นจำนวนเฉพาะ
เพราะถ้า 2553 เป็นจำนวนเฉพาะ เราจะได้ว่าสมการ $x^2\equiv d^2 \pmod{2553}$ ($d\not=0$) ก็ควรจะมีแค่ 2 คำตอบ คือ $x\equiv d,-d \pmod{2553}$ ดังนั้น ถ้ากำหนดว่า $x$ ต้องอยู่ในเซต $\{0,1,2,…,1276 \}$ ก็ควรจะได้ว่า $x$ มีอยู่แค่คำตอบเดียวที่เป็นไปได้

แต่ในความเป็นจริง 2553 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ($2553=3\cdot 23\cdot 37$) ดังนั้นที่จริงแล้วสมการ $x^2\equiv d^2 \pmod{2553}$ ($d\not=0$) อาจจะไม่ได้มีแค่ 2 คำตอบ แต่อาจมีได้ถึง 8 คำตอบ ยกตัวอย่างเช่น

สมการ $x^2\equiv 1\pmod{2553}$ มีทั้งหมด 8 คำตอบคือ $x \equiv \pm 1 ,\pm 1220,\pm 850 ,\pm 482 \pmod{2553} $
สมการ $x^2\equiv 9 \pmod{2553}$ มีทั้งหมด 4 คำตอบคือ $x \equiv \pm 3 ,\pm 1107 \pmod{ 2553}$

จากข้อเท็จจริงดังกล่าวข้างต้น ทำให้ผมมั่นใจว่าโจทย์ข้อนี้จะต้องมีตัวอย่างค้านอย่างแน่นอน และนั่นนำไปสู่การยกตัวอย่างข้างบนออกมา

[C H O]

ผมขอเฉลยข้อ 5 ของวันแรกครับ (แม้จะมีคนเฉลยแล้ว)
เนื่องจากจำนวนครั้งที่แต่ละคนแข่งเท่ากัน นั่นคือ $a_i+b_i=k$ โดย k เป็นค่าคงที่(ผมขี้เกียจหา)
และเนื่องจากในการแข่งขันครั้งหนึ่งจะเกิดคนชนะและคนแพ้ ดังนั้น $a_1+a_2+...+a_{2010}=b_1+b_2+...+b_{2010}$
พิจารณา
$(a_1^2+a_2^2+...+a_{2010}^2)-(b_1^2+b_2^2+...+b_{2010}^2)$
$=(a_1^2-b_1^2)+(a_2^2-b_2^2)+...+(a_{2010}^2-b_{2010}^2)$
$=(a_1+b_1)(a_1-b_1)+(a_2+b_2)(a_2-b_2)+...+(a_{2010}+b_{2010})(a_{2010}-b_{2010})$
$=k(a_1-b_1)+k(a_2-b_2)+...+k(a_{2010}-b_{2010})$
$=k(a_1-b_1+a_2-b_2+...+a_{2010}-b_{2010})$
$=k((a_1+a_2+...+a_{2010})-(b_1+b_2+...+b_{2010}))$
$=k(0)=0$
ดังนั้น $a_1^2+a_2^2+...+a_{2010}^2=b_1^2+b_2^2+...+b_{2010}^2$

[~ArT_Ty~]

ขอเฉลยข้อ 3 วันที่สองละกันนะครับ

ข้อนี่ผมได้ 5 คะแนน ผิอตรงไหนก้อบอกได้นะครับ



จากรูปจะได้ว่า $AC=CF,AB=BG$

ทำให้$MN//BC$

และเห็นได้โดยง่ายว่า $\frac{DE}{MN}=\frac{FG}{BC}$

$\therefore \frac{AB+AC}{BC} $

$=\frac{BG+CF}{BC} $

$=\frac{BC+FG}{BC} $

$=1+\frac{FG}{BC} $

$=1+\frac{DE}{MN} $

[THE REGISTER]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

ที่ mark สีแดงไว้ ไม่จริงนะครับ

ประเด็นของข้อนี้ คือ พิสูจน์ให้ได้ก่อนว่า DF เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง แล้วที่เหลือจะตามมาอย่างง่ายดายครับ

ช่วยทำให้ดูหน่อยได้ไหมครับ ผมคิดไม่ออกอะครับ