สำหรับคนชอบตรีโกณครับ

[gon]

ปัญหาที่น้อง MMR ถามมาจัดอยู่ในเรื่อง สมการเชิงฟังก์ชัน (Functional Equation) ซึ่งอย่างที่คุณ warut ว่าไว้ คือ TMO ครั้งที่ 1 เราช่วยกันเฉลยหมดแล้ว ลองดูที่คุณโนบีตะเฉลยไว้ ถ้าสงสัยอย่างไงก็ค่อยว่ามา ไม่น่าจะผิด

สำหรับเรื่องผู้สอบแข่งขัน อันนี้พี่ไม่ทราบครับว่าใครเป็นม้ามืดม้าสว่าง ฟังจากน้องที่ไปสอบมา นัยว่า อ.ไพศาล (สอนแคลคูลัสอยู่ จุฬา ฯ) เป็นคนออกข้อสอบชุดนี้ทั้งหมด ซึ่งได้เปรย ๆ ก่อนเด็กเข้าห้องสอบว่า ข้อสอบชุดนี้ออกง่ายมาก ท่าจะมีคนทำได้เต็ม ศูนย์ สอวน. แต่ละศูนย์มีวิทยากรอบรมไม่เหมือนกัน บางศูนย์ไม่ได้สอนเรื่องสมการเชิงฟังก์ชันนี้ตอนเข้าค่าย สอวน.เลย สำหรับ TMO ครั้งที่ 2 จะไปจัดที่อุบลราชธานี

สำหรับของน้อง Gools เพิ่งรู้ว่าแอบไปคิดปัญหาที่พี่ตั้งไว้สนุก ๆ (นี่ล่ะเรียกว่าม้ามืด ) ถ้าตอนกระจาย cos 6q กับ cos 7q มันหนักหน่วงเกินพิกัด ทำไมไม่ลองกลับมาถามดูเล่าครับว่า ทำไงไม่ให้มันหนักหน่วง ที่จริงพี่เข้าใจว่าน้อง PaoBunJin คนนั้นคงคิดที่ถามไว้เรียบร้อยแล้ว การกระจายง่าย ๆ แบบหนึ่งก็คือ ใช้สูตร recurrence ดังในหน้าที่ 4 ของเสริมชุดที่ 24 ซึ่งเป็นสูตรที่มีทั้งข้อดีและเสีย ซึ่งเราทำให้เป็นข้อดีเสียโดยมีสมุดบันทึกเล่มหนึ่ง จดบทพิสูจน์ ทบ. หรือ สูตร ทุกอย่างที่เราคิดว่ามีประโยชน์ไว้ อนาคตสมุดเล่มนั้นจะมีมูลค่ามากกว่าเพชร 100 กะรัต ในสมุดพี่บันทึกไว้ถึง cos 18q (ลืมบอกไปตอนหา cos 7q อาจใช้เทคนิคพื้น ๆ คือ cos 7q + cos q = ... แล้วก็กระจาย แล้วย้าย cos q ไป)

Note : สำหรับเนื้อหาในเสริมชุดที่ 24 ที่อ้างถึง เป็นเพียงการนำแคลมาประยุกต์ใช้ แต่การค้นพบช่วงแรกอาจจะไม่ได้มาแบบนั้น

ต่อข้อสงสัยที่ว่า เวลาทำ p/180 จะต้องกระจายอะไรออกมาแบบนี้หรือไม่ คำตอบมันตายตัวอยู่แล้วครับว่า ไม่ เด็ดขาด มนุษย์ที่ไหนจะทำได้เล่าครับ. อย่างเวลาเราถามว่า สปส.ของ x⁵ จากการกระจาย (2x⁴ - 5x³ + 4x² - 7x + 6)(5x³ + 2x² - 4x + 8) เราจำเป็นต้องกระจายจริง ๆ หรือ ไม่ใช่แน่นอนเราแค่นั่งมองแล้วก็ตอบได้เลย เช่นกัน การประยุกต์ทฤษฎีสมการกับตรีโกณ
ถ้า P(x) = xⁿ + a_{n - 1}x^{n - 1} + a_{n - 2}x^{n - 2} + ... + a₁x + a₀ = 0
ถ้าถามว่าผลบวกของรากของสมการดังกล่าว คือ อะไร เราจะได้ว่าคือ
x₁ + x₂ + ... + x_n = -a_{n - 1} = S₁
ทำนองเดียวกัน S_{n - 1} = (-1)^{n - 1}a_{n - 1} (ใช้ตอนหาผลบวกพวก sec)

ถ้าเรามี cos3q = 4cos³q - 3cosq หรือ 4cos³q - 3cosq - cos 3q = 0

ถ้า a เป็นมุมบวกที่เล็กที่สุดที่ทำให้ cos 3q = cosa แล้วเราจะได้ว่า cos q = cos (a/3), cos (2p + a)/3, cos (2p - a)/3 (ทำไม ???) ถ้าประยุกต์กับ cos 5q, cos 7q จะได้ผลลัพธ์อย่างไร ..... ที่จริงคำถามแบบนี้ปราฏกอยู่ในเสริมชุดที่ 7 หน้าที่ 3 กับ 4 นิด ๆ มาแล้วครั้งหนึ่ง (???)

Note. ลองขยาย ทบ.ที่คิดได้ไปเล่นกับ sin กับ tan ดู ถ้าอยากเล่น

สำหรับของคุณ alongkorn เอกลักษณ์ดังกล่าว ถ้าเป็นบทความคิดว่ายังไม่เคยเขียน แต่ถ้าเป็นในบอร์ดรู้สึกว่าอาจจะมีนะครับ.

[gon]

ขออนุญาตขุดครับ. บันทึกไว้เพื่อกันลืมอีกทีนิดนึง รู้สึกว่าชักสวยจะไปต่อได้ถึงกรณีทั่วไปหรือเปล่าน้อ

\[\sin \frac{2\pi}{7} + \sin \frac{4\pi}{7} + \sin \frac{8\pi}{7} = \frac{\sqrt{7}}{2} \]
\[\sin \frac{2\pi}{15} + \sin \frac{4\pi}{15} + \sin \frac{8\pi}{15} + \sin \frac{16\pi}{15} = \frac{\sqrt{15}}{2} \]

[tunococ]

อ๋า... มาขุดเองเลยหรอครับ

ผมเห็นของแบบนี้ก็ปวดหัวแล้ว แต่จะว่าไป ก็อยากทำเป็นเหมือนกันแฮะ ... เผื่อจะได้มีเรื่องไปลงใน blog ของผม เพิ่ม

ป.ล.: ตอนนี้ใน blog กำลังเขียนเกี่ยวกับ Determinant อยู่ครับ เชิญชวนทุกท่านไปเยี่ยมชมได้

[gon]

ตรีโกณนี่้เป็นเรื่องชอบของผมครับ แตะมากไม่ได้เดี๋ยวติดลมบน เมื่อคืนวานว่าจะนอนเล่นสักหน่อย แต่พอเอาข้อศอกแตะพื้น ปรากฏว่าอยู่ ๆ ความคิดก็แล่นมาจากสวรรค์ เลยลองจรดดินสอลงบนกระดาษดู ปรากฏว่าสนุกมาก ๆ แนวคิดที่ปิ๊งออกมาใช้ได้จริง ๆ ผมเลยได้เอกลักษณ์ชุดใหม่ออกมาอีกแยะทีเดียว เอามาให้ดูบางส่วนเพิ่มเติมครับ
\[\cos \frac{\pi}{20} + \cos \frac{3\pi}{20} + \cos \frac{9\pi}{20} + \cos \frac{27\pi}{20}= \frac{\sqrt{10}}{2}\]
\[\cos \frac{2\pi}{21} + \cos \frac{8\pi}{21} + \cos \frac{32\pi}{21} = \frac{\sqrt{21} + 1}{4}\]
\[\cos \frac{\pi}{21} + \cos \frac{5\pi}{21} + \cos \frac{25\pi}{21} = \frac{\sqrt{21} - 1}{4}\]
\[\cos \frac{\pi}{28} + \cos \frac{9\pi}{28} + \cos \frac{81\pi}{28} = \frac{\sqrt{14} - \sqrt{2}}{4}\]
\[\cos \frac{13\pi}{28} + \cos \frac{117\pi}{28} + \cos \frac{1053\pi}{28} = \frac{\sqrt{14} + \sqrt{2}}{4}\]

[teachmaths]

ข้อความเดิมของคุณ gon:
ปัญหาที่น้อง MMR ถามมาจัดอยู่ในเรื่อง สมการเชิงฟังก์ชัน (Functional Equation) ซึ่งอย่างที่คุณ warut ว่าไว้ คือ TMO ครั้งที่ 1 เราช่วยกันเฉลยหมดแล้ว ลองดูที่คุณโนบีตะเฉลยไว้ ถ้าสงสัยอย่างไงก็ค่อยว่ามา ไม่น่าจะผิด

สำหรับเรื่องผู้สอบแข่งขัน อันนี้พี่ไม่ทราบครับว่าใครเป็นม้ามืดม้าสว่าง ฟังจากน้องที่ไปสอบมา นัยว่า อ.ไพศาล (สอนแคลคูลัสอยู่ จุฬา ฯ) เป็นคนออกข้อสอบชุดนี้ทั้งหมด ซึ่งได้เปรย ๆ ก่อนเด็กเข้าห้องสอบว่า ข้อสอบชุดนี้ออกง่ายมาก ท่าจะมีคนทำได้เต็ม ศูนย์ สอวน. แต่ละศูนย์มีวิทยากรอบรมไม่เหมือนกัน บางศูนย์ไม่ได้สอนเรื่องสมการเชิงฟังก์ชันนี้ตอนเข้าค่าย สอวน.เลย สำหรับ TMO ครั้งที่ 2 จะไปจัดที่อุบลราชธานี

สำหรับของน้อง Gools เพิ่งรู้ว่าแอบไปคิดปัญหาที่พี่ตั้งไว้สนุก ๆ (นี่ล่ะเรียกว่าม้ามืด ) ถ้าตอนกระจาย cos 6q กับ cos 7q มันหนักหน่วงเกินพิกัด ทำไมไม่ลองกลับมาถามดูเล่าครับว่า ทำไงไม่ให้มันหนักหน่วง ที่จริงพี่เข้าใจว่าน้อง PaoBunJin คนนั้นคงคิดที่ถามไว้เรียบร้อยแล้ว การกระจายง่าย ๆ แบบหนึ่งก็คือ ใช้สูตร recurrence ดังในหน้าที่ 4 ของเสริมชุดที่ 24 ซึ่งเป็นสูตรที่มีทั้งข้อดีและเสีย ซึ่งเราทำให้เป็นข้อดีเสียโดยมีสมุดบันทึกเล่มหนึ่ง จดบทพิสูจน์ ทบ. หรือ สูตร ทุกอย่างที่เราคิดว่ามีประโยชน์ไว้ อนาคตสมุดเล่มนั้นจะมีมูลค่ามากกว่าเพชร 100 กะรัต ในสมุดพี่บันทึกไว้ถึง cos 18q (ลืมบอกไปตอนหา cos 7q อาจใช้เทคนิคพื้น ๆ คือ cos 7q + cos q = ... แล้วก็กระจาย แล้วย้าย cos q ไป)

Note : สำหรับเนื้อหาในเสริมชุดที่ 24 ที่อ้างถึง เป็นเพียงการนำแคลมาประยุกต์ใช้ แต่การค้นพบช่วงแรกอาจจะไม่ได้มาแบบนั้น

ต่อข้อสงสัยที่ว่า เวลาทำ p/180 จะต้องกระจายอะไรออกมาแบบนี้หรือไม่ คำตอบมันตายตัวอยู่แล้วครับว่า ไม่ เด็ดขาด มนุษย์ที่ไหนจะทำได้เล่าครับ. อย่างเวลาเราถามว่า สปส.ของ x⁵ จากการกระจาย (2x⁴ - 5x³ + 4x² - 7x + 6)(5x³ + 2x² - 4x + 8) เราจำเป็นต้องกระจายจริง ๆ หรือ ไม่ใช่แน่นอนเราแค่นั่งมองแล้วก็ตอบได้เลย เช่นกัน การประยุกต์ทฤษฎีสมการกับตรีโกณ
ถ้า P(x) = xⁿ + a_{n - 1}x^{n - 1} + a_{n - 2}x^{n - 2} + ... + a₁x + a₀ = 0
ถ้าถามว่าผลบวกของรากของสมการดังกล่าว คือ อะไร เราจะได้ว่าคือ
x₁ + x₂ + ... + x_n = -a_{n - 1} = S₁
ทำนองเดียวกัน S_{n - 1} = (-1)^{n - 1}a_{n - 1} (ใช้ตอนหาผลบวกพวก sec)

ถ้าเรามี cos3q = 4cos³q - 3cosq หรือ 4cos³q - 3cosq - cos 3q = 0

ถ้า a เป็นมุมบวกที่เล็กที่สุดที่ทำให้ cos 3q = cosa แล้วเราจะได้ว่า cos q = cos (a/3), cos (2p + a)/3, cos (2p - a)/3 (ทำไม ???) ถ้าประยุกต์กับ cos 5q, cos 7q จะได้ผลลัพธ์อย่างไร ..... ที่จริงคำถามแบบนี้ปราฏกอยู่ในเสริมชุดที่ 7 หน้าที่ 3 กับ 4 นิด ๆ มาแล้วครั้งหนึ่ง (???)

Note. ลองขยาย ทบ.ที่คิดได้ไปเล่นกับ sin กับ tan ดู ถ้าอยากเล่น

สำหรับของคุณ alongkorn เอกลักษณ์ดังกล่าว ถ้าเป็นบทความคิดว่ายังไม่เคยเขียน แต่ถ้าเป็นในบอร์ดรู้สึกว่าอาจจะมีนะครับ.