โจทย์คัดตัวแทน สอวน. หาดใหญ่

[MonodiTri]

1.มีครอบครัวอยู่ n ครอบครัว ครอบครัวละ 3 คน (พ่อ แม่ ลูก) จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดในการจัดคน 3n คนเรียงเป็นแถวตรง โดยที่ลูกอยู่ติดกับแม่และพ่อไม่อยูติดกับแม่
2.ถ้า หรม.ของ n และ2010เท่ากับ1 จงแสดงว่ามีจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้111...111(k ตัว)หารด้วย n ลงตัว

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MonodiTri

2.ถ้า หรม.ของ n และ2010เท่ากับ1 จงแสดงว่ามีจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้111...111(k ตัว)หารด้วย n ลงตัว

ให้ $k=\phi(n)$

[Jew]

[quote=MonodiTri;83265]1.มีครอบครัวอยู่ n ครอบครัว ครอบครัวละ 3 คน (พ่อ แม่ ลูก) จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดในการจัดคน 3n คนเรียงเป็นแถวตรง โดยที่ลูกอยู่ติดกับแม่และพ่อไม่อยูติดกับแม่
2.ถ้า หรม.ของ n และ2010เท่ากับ1 จงแสดงว่ามีจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้111...111(k ตัว)หารด้วย n ลงตัว[/QUOTE]
คล้ายกับโจทย์ท.บ.จำนวนในศูนย์ผมเลยอ่ะครับ
ลองเขียน $1111111111111111.....11$ ให้อยู่ในรูป $(10^{n}-1))/9$
ดูอ่ะครับ

[Ne[S]zA]

เอาไปอีกข้อเหอๆๆ
Number Theory 5 คะแนน
จงหาเศษจากการหาร $(52!)^{20\cdot 10}+(20\cdot 10)^{52!}$ ด้วย $25\cdot 53$
ตอบ $850$
Trigonometric
กำหนดสามเหลี่ยม $ABC$ โดยมีความสัมพันธ์
$$\dfrac{\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C}{\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C}=2$$
จงแสดงว่าสามเหลี่ยม $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

[teamman]

เอ่อ อยากทราบว่า ข้อ 2 ตอบ ฟี n หรือ ฟี9n อ่าครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ teamman

เอ่อ อยากทราบว่า ข้อ 2 ตอบ ฟี n หรือ ฟี9n อ่าครับ

ให้ $k=m\phi(n),m\geq 1$

$(n,2010)=1\Rightarrow (n,10)=1,(n,9)=1$

Euler's Theorem : $10^{\phi(n)}\equiv 1 \pmod{n}$

$10^{m\phi(n)}\equiv 1 \pmod{n}$

$9\Big(\dfrac{10^{m\phi(n)}-1}{9}\Big)\equiv 0\pmod{n}$

$\dfrac{10^{m\phi(n)}-1}{9}\equiv 0\pmod{n}$

Note : $\phi(9n)=\phi(9)\phi(n)=6\phi(n)$

[nooonuii]

กำหนดสามเหลี่ยม $ABC$ โดยมีความสัมพันธ์
$$\dfrac{\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C}{\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C}=2$$
จงแสดงว่าสามเหลี่ยม $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

ชอบข้อนี้ครับ

ให้ $a,b,c$ เป็นด้านตรงข้ามมุม $A,B,C$ ตามลำดับ

จากเงื่อนไขโจทย์จะได้ว่า

$\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}=1$

จากนั้นใช้กฎของโคไซน์จะได้

$\dfrac{(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2b^2}+\dfrac{(b^2+c^2-a^2)^2}{4b^2c^2}+\dfrac{(c^2+a^2-b^2)^2}{4c^2a^2}=1$

ให้ $x=a^2+b^2-c^2,y=b^2+c^2-a^2,z=c^2+a^2-b^2$

สมการข้างบนจะกลายเป็น

$\dfrac{x^2}{(x+y)(x+z)}+\dfrac{y^2}{(y+x)(y+z)}+\dfrac{z^2}{(z+x)(z+y)}=1$

$x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)=(x+y)(y+z)(z+x)$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)+2xyz$

ดังนั้น $xyz=0$

นั่นคือ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

[Ne[S]zA]

Inequality 10 points
1.(i) Prove that $\frac{1}{x+y}\leqslant \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})$ ; $x,y>0$
(ii) Let $a,b,c>0$ Prove that
$$\dfrac{ab}{a+b+2c}+\dfrac{bc}{b+c+2a}+\dfrac{ca}{c+a+2b}\leqslant \dfrac{1}{4}(a+b+c)$$
2.Let $a+b+c+d=2$ Prove that
$$\sqrt{a(b+c)}+\sqrt{b(c+d)}+\sqrt{c(d+a)}+\sqrt{d(b+c)}\leqslant 3$$
Number Theory 5 points

จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุด ซึ่งมี $2010$ เป็นตัวประกอบและ $\tau (n)=160$
(ตอบในรูปของผลคูณของจำนวนเฉพาะ)

[LightLucifer]

ข้อแรกนี่ผมกระจายเอาเลยแหะ =="

บอกตามตรงนะครับ หลังจากอ่าบทความของพี่ nooonuii ผมก็รู้สึกว่าอสมการอันไหน พอจะกระจายได้ก็กระจายไปอ่ะครับ ในบางครั้งผมว่าชัวกว่ามานั่งบาวแล้วเกินอีก =="

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

Inequality 10 points
2.Let $a+b+c+d=2$ Prove that
$$\sqrt{a(b+c)}+\sqrt{b(c+d)}+\sqrt{c(d+a)}+\sqrt{d(b+c)}\leqslant 3$$

ข้อนี้เทอมสุดท้ายคือ $\sqrt{d(b+a)}$ หรือเปล่าครับ

ถ้าใช่อสมการที่แท้จริงคือ

$$\sqrt{a(b+c)}+\sqrt{b(c+d)}+\sqrt{c(d+a)}+\sqrt{d(b+a)}\leqslant 2\sqrt{2}$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

Inequality 10 points
1.(i) Prove that $\frac{1}{x+y}\leqslant \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})$ ; $x,y>0$
(ii) Let $a,b,c>0$ Prove that
$$\dfrac{ab}{a+b+2c}+\dfrac{bc}{b+c+2a}+\dfrac{ca}{c+a+2b}\leqslant \dfrac{1}{4}(a+b+c)$$

ถ้ากระจายแล้วไม่มีอะไรตกหล่นก็โอเคครับ

แต่ข้อนี้ใช้ Hint จากข้อแรกก็ออกแล้วครับ

$\dfrac{ab}{a+b+2c}\leq \dfrac{1}{4}ab\Big(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}\Big)$

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ข้อนี้เทอมสุดท้ายคือ $\sqrt{d(b+a)}$ หรือเปล่าครับ

ถ้าใช่อสมการที่แท้จริงคือ

$$\sqrt{a(b+c)}+\sqrt{b(c+d)}+\sqrt{c(d+a)}+\sqrt{d(b+a)}\leqslant 2\sqrt{2}$$

โดย AM.-GM. จะได้
$\dfrac{a+(b+c)}{2}\geqslant \sqrt{a(b+c)}$
ในทำนองเดียวกัน
$\dfrac{b+(c+d)}{2}\geqslant \sqrt{b(c+d)}$
$\dfrac{c+(d+a)}{2}\geqslant \sqrt{c(d+a)}$
$\dfrac{d+(b+a)}{2}\geqslant \sqrt{d(b+a)}$
บวกกับทั้งหมดจะได้
$$\sqrt{a(b+c)}+\sqrt{b(c+d)}+\sqrt{c(d+a)}+\sqrt{d(b+a)}\leqslant 3$$

[nooonuii]

โดย AM.-GM. จะได้
$\dfrac{a+(b+c)}{2}\geqslant \sqrt{a(b+c)}$
ในทำนองเดียวกัน
$\dfrac{b+(c+d)}{2}\geqslant \sqrt{b(c+d)}$
$\dfrac{c+(d+a)}{2}\geqslant \sqrt{c(d+a)}$
$\dfrac{d+(b+a)}{2}\geqslant \sqrt{d(b+a)}$
บวกกับทั้งหมดจะได้
$$\sqrt{a(b+c)}+\sqrt{b(c+d)}+\sqrt{c(d+a)}+\sqrt{d(b+a)}\leqslant 3$$

อสมการนี้ยังไม่ sharp ครับ ถ้าปรับนิดหน่อยจะทำให้สมการเกิดขึ้นได้ ขอลอกเลยละกัน

โดย AM.-GM. จะได้
$\dfrac{2a+(b+c)}{2}\geqslant \sqrt{2a(b+c)}$
ในทำนองเดียวกัน
$\dfrac{2b+(c+d)}{2}\geqslant \sqrt{2b(c+d)}$
$\dfrac{2c+(d+a)}{2}\geqslant \sqrt{2c(d+a)}$
$\dfrac{2d+(b+a)}{2}\geqslant \sqrt{2d(b+a)}$
บวกกันทั้งหมดจะได้
$$\sqrt{a(b+c)}+\sqrt{b(c+d)}+\sqrt{c(d+a)}+\sqrt{d(b+a)}\leq 2\sqrt{2}$$

[Ne[S]zA]

อ่า ครับ เหอๆๆ ข้อนี้ผมใช้ โคชี ได้ น้อยกว่าหรือเท่้ากับ $2\sqrt{2}$ เหมือนกัน

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

อสมการนี้ยังไม่ sharp ครับ ถ้าปรับนิดหน่อยจะทำให้สมการเกิดขึ้นได้

อสมการยังไม่ sharp หมายถึงอะไรหรอครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

อสมการยังไม่ sharp หมายถึงอะไรหรอครับ

แปลเป็นภาษาไทยแบบชาวบ้านๆว่า ยังไม่เจ๋ง