โจทย์ที่ไม่เข้าใจ........(สมบัติของจำนวนนับ)

[seidon]

อีกไม่กี่เดือนก็จาขึ้น ม.3 แล้ว...... แต่ก็ยังมีโจทย์คณิตม.ต้นอีกมากมายที่ยังทำไม่ค่อยได้เลย

พี่ๆและเพื่อนชาว mathcenter ก็ขอช่วยให้คำแนะนำกานบ้างน่ะ วันนี้เราก็มีโจทย์ที่มั่ยเข้าใจมาถาม

ถ้ายังไงก็ช่วยอธิบายบอกแนวคิดหน่อยน่ะ........

1. ให้ p,q และ r เป็นจำนวนเฉพาะที่เป็นบวก และมีค่าน้อยกว่า 50 จะมี p,q,r กี่ชุดที่ทำให้ p+q = r และ p<q
2. จำนวนเต็ม x ตั้งแต่ 0 ถึง 1000 ซึ่ง ห.ร.ม. ของ x และ 15 ไม่เท่ากับ 1 มีทั้งหมดกี่จำนวน
3.จำนวนตั้งแต่ 1 ถึง 1000 มีตัวเลขศูนย์ทั้งหมดกี่ตัว
4.จำนวนใดต่อไปนี้เป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมด 10,001 100,010,001 1,000,100,010,001
5. ห้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ปูด้วยกระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดเท่ากัน กระเบื้องที่ปูตามแนวเส้นทแยงมุมเป็นสีดำ นอกจากนั้นเป็นสีขาว ถ้ามีกระเบื้องสีดำ 101 แผ่น จำนวนกระเบื้องทั้งหมดเปงเท่าไร
6.จำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด ที่หารด้วย 5 แล้วเหลือเศษ 4,หารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ 3 และหารด้วย 3 แล้วเหลือเศษ 2 คือ จำนวนใด
7.จงหาจำนวนซึ่งเมื่อนำไปหาร 881 แล้วเหลือเศา 29 และเมื่อนำไปหาร 5149 เหลือเศษ 37

ขอบคุณมากๆๆ

[mercedesbenz]

ข้อแนะข้อ 2 ก่อนเพื่อนเลยล่ะกัน
1) หาจำนวนของ $x$ ที่ทำให้ ห.ร.ม. ของ $x$ กับ $15$ เป็น 1
นั่นคือ สังเกตตัวประกอบของ 15 คือ 3 และ 5
2) นำจำนวนทั้งหมด มาลบจำนวนที่ได้จากข้อ 1

[gon]

ข้อ 6. นะครับ หา ค.ร.น ของ (5, 4, 3) แล้วลบด้วย 1 จะได้คำตอบ

หมายเหตุ : วิธีนี้ผมจำมาจากนักเรียนชั้น ป.4 คนหนึ่งครับ

พอผมถามต่อว่าแล้ว ถ้าเปลี่ยนโจทย์เ์ป็น

จำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด ที่หารด้วย 5 แล้วเหลือเศษ 2,หารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ 3 และหารด้วย 3 แล้วเหลือเศษ 1 คือ จำนวนใด

นักเรียนคนนั้นตอบไม่ได้ครับ.

[t.B.]

โจทย์ใหม่ที่คุณ gon ให้นี่ถึงขั้นต้องใช้ chinese remainder theorem เลย รึเปล่าครับ

[mercedesbenz]

ข้อ 7
พิจารณาให้ จำนวนนั้นเป็น $x$ เนื่องจาก จำนวนนั้นเมื่อนำไปหาร $881$ แล้วเหลือเศา $29$ และเมื่อนำไปหาร $5149$ เหลือเศษ $37$
ดังนั้น $881=xk_1+29$
และ $5149=xk_2+37$
hint: $x$ จะได้จาก ห.ร.ม คับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

โจทย์ใหม่ที่คุณ gon ให้นี่ถึงขั้นต้องใช้ chinese remainder theorem เลย รึเปล่าครับ

ไม่ต้องครับ ผมเรียกว่าเกมเติมตัวเลข เติมแป๊บๆก็เสร็จ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ไม่ต้องครับ ผมเรียกว่าเกมเติมตัวเลข เติมแป๊บๆก็เสร็จ

ผมไม่รู้ว่าจะเข้าใจจุดประสงค์ของคุณ gon หรือ เปล่า แต่จะลองทำดูโจทย์อย่างนี้ดูี้ เมื่อถามเด็กประถม จุดประสงค์คงต้องใช้ความรู้ประถมตอบ
ให้ x เป็นเลขจำนวนนับที่น้อยที่สุด ดังนั้นเราจะได้ว่า
เมื่อหารด้วย 5 แล้วเหลือเศษ 2 แสดงว่า $\frac{x+3}{5}$ ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก.................(1)
เมื่อหารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ 3 แสดงว่า $\frac{x+1}{4}$ ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก.................(2)
เมื่อหารด้วย 3 แล้วเหลือเศษ 1 แสดงว่า $\frac{x+2}{3}$ ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก.................(3)
จาก (1) จะสังเกตพบว่า x = 2, 7, 12, ....
จาก (2) จะสังเกตพบว่า x = 3, 7, 11, ....
จาก (3) จะสังเกตพบว่า x = 1, 4, 7, ....
ดังนั้น เลขจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดคือ 7 นั่นเอง

[t.B.]

ดูความคิดเห็นของคุณ nooonuii แทนนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

ข้อ4 มี 10,001 กับ 1,000,100,010,001 เป็น จ.เฉพาะ
แนวคิด เลขที่คูณกันแล้วมีโอกาสลงท้ายด้วย 1 ก็มี 1,3,7,9 ที่เหลือก็ลองไปหารดูจะพบว่ามีเลข3หาร 10,001 ลงตัวตัวเดียว
ปล.วิธีเช็คแบบเร็วๆสำหรับ 3กับ9 คือเอาเลขโดดมาบวกกันแล้วหารดู ส่วนเลข7นั้นก็มีเหมือนกันแต่ผมจำไม่ได้

ถามน้องเปิ้ลมาได้ความว่า

$10001=73\times 137$

$100010001=3\times 7\times 13\times 37\times 9901$

$1000100010001=17\times 73\times 137\times 5882353$

[t.B.]

โอ้ ผิดอย่างแรง ขอบคุณคุณ nooonuii ที่แย้ง ลืมเช็คกรณี จ.เฉพาะมากกว่า 10 ครับ

[Mathophile]

ข้อ 1 ครับ
ปกติจำนวนเฉพาะจะเป็นจำนวนคี่
แต่ว่าจำนวนคี่บวกจำนวนคี่ย่อมได้จำนวนคู่ ซึ่งจำนวนเฉพาะที่เป็นจำนวนคู่นั้น.....!??

[banker]

7.จงหาจำนวนซึ่งเมื่อนำไปหาร 881 แล้วเหลือเศา 29 และเมื่อนำไปหาร 5149 เหลือเศษ 37

ผมคิดง่ายๆว่า ถ้ามันเหลือเศษ ก็เอาเศษออก ก็จะหารลงตัว
ไปหาร 881 แล้วเหลือเศษ 29 เอา 29 ลบออก ก็จะหารลงตัว (881-29=852)
นำไปหาร 5149 เหลือเศษ 37 เอาออกซะ 37 ก็หารลงตัว (5149-37 ช 5112)

หรม. ของ 852 กับ 5112 = 6

ตอบจำนวนนั้นคือ 6

[Julian]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

7.จงหาจำนวนซึ่งเมื่อนำไปหาร 881 แล้วเหลือเศา 29 และเมื่อนำไปหาร 5149 เหลือเศษ 37

ผมคิดง่ายๆว่า ถ้ามันเหลือเศษ ก็เอาเศษออก ก็จะหารลงตัว
ไปหาร 881 แล้วเหลือเศษ 29 เอา 29 ลบออก ก็จะหารลงตัว (881-29=852)
นำไปหาร 5149 เหลือเศษ 37 เอาออกซะ 37 ก็หารลงตัว (5149-37 ช 5112)

หรม. ของ 852 กับ 5112 = 6

ตอบจำนวนนั้นคือ 6

ข้อนี้ตอบ 852 เนื่องจาก หรม.ของ 852 กับ 5112 คือ 852 ครับ

และ ถ้า ตัวหารเป็น 6 เศษจะไม่ถึง 29 และ 37 ครับ

[banker]

ใช่ครับ เมื่อวานป้ำๆเป๋อๆทั้งวัน