ถามเรื่อง อสมการหน่อยครับ

[skygoe]

1. มีคู่อันดับจำนวนนับ (a,b,c) กี่ชุดที่ a < b, c< b และ b^2 = 4(a+c)

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ skygoe

1. มีคู่อันดับจำนวนนับ $(a,b,c)$ กี่ชุดที่ $a < b, c< b$ และ $b^2 = 4(a+c)$

ทำลายการจัดอันดับทิ้งไปก่อนโดยการสร้างตัวแปรใหม่

$r=b-a,s=b-c$

จะได้ว่า $r,s>0\Rightarrow r,s\geq 1$ เพราะเป็นจำนวนเต็มทั้งคู่

สมการจัดรูปได้เป็น

$(b-4)^2=4(4-r-s)$

ดังนั้น $2\leq r+s\leq 4$ และ $4-r-s$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

จึงได้ว่า $r+s=3,4$

ถ้า $r+s=3$ จะได้ $b=2,6$ แต่เนื่องจาก $r,s<b$ และ

กรณีนี้จะต้องมี $r,s$ ตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับ $2$

จึงได้ว่า $b=6$ เท่านั้น

และได้ $(r,s,b)=(1,2,6),(2,1,6)$

$(a,b,c)=(5,6,4),(4,6,5)$

ถ้า $r+s=4$ จะได้ $b=4$

จึงได้ $(r,s,b)=(1,3,4),(3,1,4),(2,2,4)$

$(a,b,c)=(3,4,1),(1,4,3),(2,4,2)$

สรุป มีทั้งหมด $5$ คำตอบ

[-SIL-]

อีกหนึ่งวิธีครับ เป็นการหาขอบเขตแล้วไล่แทนค่า
จาก $a<b$ และ $c<b$
ทำให้ $a^2+c^2<2b^2=8(a+c)$
หรือ $(a-4)^2+(c-4)^2<32$

[skygoe]

ขอบคุงมากครับ ^_^ :P