ช่วยอธิบายหน่อยครับ เกี่ยวกับฟังก์ชัน log

[thee]

จากนิยาม $
\log x = \int\limits_1^x {{{dt} \over t}}
$
จงพิสูจน์จากนิยามว่า เมื่อ $x > 0 $
${x \over {1 + x}} < \log (1 + x) < x$

วิธีทำ
เพราะว่า $\log (1 + x) = \int_1^{1 + x} {{1 \over t}dt} $

ถ้า $1 < t < 1 + x$
แล้ว
$$
{x \over {1 + x}} = {1 \over {1 + x}}\int_1^{1 + x} {dt} < \int_1^{1 + x} {{1 \over t}dt} < \int_1^{1 + x} {dt} = x
$$

ช่วยอธิบายบรรทัดสุดท้ายหน่อยครับว่ามาได้ไงผมงงมากเลยครับ

[warut]

$$ \begin{array}{rccccl} & 1 & < & t & < & 1+x \\ \Rightarrow & \frac{1}{1+x} & < & \frac1t & < & 1 \\ \Rightarrow & \int_1^{1+x} \frac{1}{1+x} \,dt & < & \int_1^{1+x} \frac1t \,dt & < & \int_1^{1+x} dt \\ \Rightarrow & \frac{x}{1+x} & < & \log(1+x) & < & x \end{array} $$

ป.ล. การเขียนส่วน upper limit of integration ให้ใช้เครื่องหมาย ^ ไม่ใช่ \over ส่วนการเขียนเศษส่วนให้ใช้ \frac ลอง double click ที่ส่วน LaTeX ที่ผมเขียนดูเป็นตัวอย่างได้ครับ

[thee]

ขอบคุณมากครับที่ช่วยตอบครับ ผมเข้าใจแจ่มแจ้งแล้วครับ ส่วนที่มันเป็นยังงี้เพราะผมใช้โปรแกรม math type พิมพ์ ครับ มันก็เลย ใช้เป็นตัว \over

[thee]

พอดีผมสงสัยอีกอย่างอะครับตรงที่บอกว่า

ถ้า $$
1 < t < 1 + x
$$

มาได้ไงอะครับ

และก็อันนี้เป็นข้อความในหนังสือครับผมงงอ่านแล้วไม่ค่อยเข้าใจ
เมื่อ $0 < x < 1$ จะได้ว่า $log x$ มีค่าเป็นลบทั้งนี้เพราะในกรณีนี้
$$
\log x = \int_1^x {{1 \over t}dt = - } \int_x^1 {{1 \over t}dt < 0}
$$
นอกจากนี้เมื่อแทนค่า $t = {1 \over u}$ในอินทิกรัลจะได้
$$
\log x = \int_1^x {{1 \over t}dt = - } \int_1^{1/x} {{1 \over u}dt = - \log {1 \over x}}
$$

ช่วยอธิบายหน่อยครับว่า $-\int_x^1 {{1 \over t}dt < 0} $มันน้อยกว่าศูนย์ได้ไงครับ
และก็ $\log x = \int_1^x {{1 \over t}dt = - } \int_1^{1/x} {{1 \over u}du = - \log {1 \over x}} $ บรรทัดสุดท้ายอะครับ มาไงอะครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ thee:
พอดีผมสงสัยอีกอย่างอะครับตรงที่บอกว่า

ถ้า $$
1 < t < 1 + x
$$

มาได้ไงอะครับ

ก็เพราะเราเลือกที่จะ integrate บนช่วง $(1,1+x)$ เพื่อจะให้ได้ผลเป็นอสมการที่ต้องการน่ะครับ

ข้อความเดิมของคุณ thee:
ช่วยอธิบายหน่อยครับว่า $-\int_x^1 {{1 \over t}dt < 0} $มันน้อยกว่าศูนย์ได้ไงครับ

เพราะ $f(t)=1/t$ มันมากกว่า 0 บนช่วง $[x,1]$ ค่าของ integral จึงเป็นบวก ใส่เครื่องหมายลบเข้าไป มันก็กลายเป็นลบไงครับ

ข้อความเดิมของคุณ thee:
และก็ $\log x = \int_1^x {{1 \over t}dt = - } \int_1^{1/x} {{1 \over u}dt = - \log {1 \over x}} $ บรรทัดสุดท้ายอะครับ มาไงอะครับ

integral ตัวที่สองนั่นได้มาจากการแทนค่า $u=1/t$ น่ะครับ แต่พิมพ์ผิดนิดนึง คือต้องเป็น $du$ ไม่ใช่ $dt$ นะครับ

[thee]

ไอ้ตรงที่บอกว่า
$\displaystyle{ \log x = \int_1^x {{1 \over t}dt = - } \int_1^{1/x} {{1 \over u}du = - \log {1 \over x}} }$
จริงผมงงตรงที่ว่าทำไมตัว x ที่อยุ่บนอินทิเกรต ถึงกลายเป็น 1/x อะครับ

[warut]

เอ๋า... ก็ $u=1/t$ เมื่อ $t=x$ ก็จะได้ $u=1/x$ ไงครับ

[thee]

โจทย์ข้อ 1 ครับ ช่วยดูให้หน่อยครับว่าทำถูกเปล่า พอดีหนังสือมันไม่มีเฉลยอะครับ

จงพิสูจน์ว่า $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^ + } {{\log x} \over {x - 1}} = 1$

วิธีทำ
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^ + } {{\log x} \over {x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0^ + } {{\log (1 + y)} \over y}$
แต่จากข้างบน ${y \over {1 + y}} < \log (1 + y) < y;y > 0$
จะได้ ${1 \over {1 + y}} < {{\log (1 + y)} \over y} < 1$
จะได้ $\mathop {\lim }\limits_{y \to 0^ + } {1 \over {1 + y}} < \mathop {\lim }\limits_{y \to 0^ + } {{\log (1 + y)} \over y} < \mathop {\lim }\limits_{y \to 0^ + } 1$
จะได้ $1 < \mathop {\lim }\limits_{y \to 0^ + } {{\log (1 + y)} \over y} < 1$
เพราะฉะนั้น$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^ + } {{\log x} \over {x - 1}} = 1$

[warut]

เกือบถูกสมบูรณ์แล้วครับ เพียงแต่...

ข้อความเดิมของคุณ thee:
จะได้ $\mathop {\lim }\limits_{y \to 0^ + } {1 \over {1 + y}} < \mathop {\lim }\limits_{y \to 0^ + } {{\log (1 + y)} \over y} < \mathop {\lim }\limits_{y \to 0^ + } 1$
จะได้ $1 < \mathop {\lim }\limits_{y \to 0^ + } {{\log (1 + y)} \over y} < 1$

ตรงนี้ต้องใช้เครื่องหมาย $\le$ ไม่ใช่ $<$ ครับ ก่อนหน้านี้จะใช้ด้วยก็ได้ แต่ตรงนี้ต้องใช้ครับ (อย่าลืมว่า $1<x<1$ มันไม่มีความหมาย)