|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ช่วยพิสูจน์ด้วยคับ
ให้ $x,y,z\in$ จำนวนจริงบวกซึ่ง $xyz\geqslant 1$ จงพิสูจน์ว่า
$\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} +\frac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2} +\frac{z^5-z^2}{z^5+x^2+y^2} \geqslant 0$ |
#2
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$\leftrightarrow \frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2} +\frac{x^2+y^2+z^2}{y^5+z^2+x^2} +\frac{x^2+y^2+z^2}{z^5+x^2+y^2} \leqslant 3$ By Cauchy–Schwarz inequality and $xyz\geqslant 1$ $(x^5+y^2+z^2)(yz+y^2+z^2)\geqslant (\sqrt{x^5yz}+y^2+z^2)^2\geqslant (x^2+y^2+z^2)^2$ $\leftrightarrow \frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2}\leqslant \frac{yz+y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2}$ $\therefore \frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2} +\frac{x^2+y^2+z^2}{y^5+z^2+x^2} +\frac{x^2+y^2+z^2}{z^5+x^2+y^2} \leqslant \sum_{cyc} \frac{yz+y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2}=2+ \frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}$ But $xy+yz+zx\leqslant x^2+y^2+z^2\leftrightarrow \frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}\leqslant 1$ $\therefore \frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2} +\frac{x^2+y^2+z^2}{y^5+z^2+x^2} +\frac{x^2+y^2+z^2}{z^5+x^2+y^2} \leqslant 2+\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}\leqslant 3$ Which implies $\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} +\frac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2} +\frac{z^5-z^2}{z^5+x^2+y^2} \geqslant 0$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... 21 ธันวาคม 2010 11:39 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ LightLucifer |
#3
|
|||
|
|||
เลขมออะไรครับทำไมยากจังช่วยสอนผมหน่อย
|
|
|