โจทย์ Inequality

[nooonuii]

24. Applying Cauchy - Schwarz inequality we have

$a\sqrt{b} + b\sqrt{c} + c\sqrt{a}$

$= \sqrt{a}\cdot\sqrt{ab} + \sqrt{b}\cdot\sqrt{bc} +\sqrt{c}\cdot\sqrt{ca}$
$\leq \sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}$
$\leq \sqrt{\frac{1}{3}(a+b+c)(a+b+c)^2}$
$= \frac{1}{\sqrt{3}}$

40. We have to prove two inequalities separately. First, we use Cauchy - Schwarz inequality to get

$abc(a+b+c)$
$ = ab\cdot ca + bc\cdot ab + ca\cdot bc$
$\leq a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2$

Adding $2abc(a+b+c)$ to both sides we get

$3abc(a+b+c) \leq (ab+bc+ca)^2$

This is equivalent to

$a+b+c \leq \frac{1}{3} \Big(\frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Big)(a^2+b^2+c^2).......(1)$

Next, we use AM-GM inequality to get

$(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2\geq 27a^2b^2c^2$

which is equivalent to

$\sqrt{a^2+b^2+c^2}\leq \frac{1}{3\sqrt{3}} \Big(\frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Big)(a^2+b^2+c^2)........(2)$

(1) + (2) gives the required inequality.

ที่เหลือเดี๋ยวมาต่อให้พรุ่งนี้ครับ

[dektep]

Inequlities
หนังสืออสมการของ Hojoo Lee

[dektep]

ขอบคุณคุณnooonuii มากครับ

[nooonuii]

คำตอบของข้อที่เหลือผมย้ายไปอีกกระทู้นึงละกันครับ เพื่อความสะดวกในการหา