คำถามระดับมหาวิทยาลัย ที่เด็กมัธยมสามารถคิดได้

[nongtum]

เห็นห้องนี้เงียบๆ เลยมาตั้งกระทู้ซะหน่อย

ตามหัวข้อครับ ในที่นี่เราไม่นับคำถามระดับแข่งขัน เช่น โอลิมปิก (เพราะบางทีแม้แต่เด็กมหาวิทยาลัยก็คิดไม่ออก) หรือคำถามแคลคูลัสระดับปีหนึ่งเทอมแรก ซึ่งโดยส่วนตัวแล้วไม่เห็นความแตกต่างจากระดับม.ปลายมากนัก แต่เราจะนับคำถามที่ไม่ซับซ้อนเกินไป มีแนวคิดน่าสนใจ และเจอได้ในระดับมหาวิทยาลัย และคำถามดังกล่าวควรแก้ได้โดยพึ่งพาทฤษฏีไม่เกินระดับมัธยมปลาย
ว่าแล้วก็เข้าคำถามดีกว่า

1. ชายสองคนมีวัวด้วยกันอยู่ x ตัว และขายวัวทั้งหมดตัวละ x ดอลลาร์ แล้วนำเงินที่ได้ทั้งหมดไปซื้อแกะตัวละ 12 ดอลลาร์ แต่ทว่าเงินที่ได้จากการขายวัวหารสิบสองไม่ลงตัว พวกเขาจึงเอาเงินที่เหลือไปซื้อลูกแกะได้หนึ่งตัวพอดี ต่อมาไม่นานนักพวกเขาตกลงที่จะแบ่งแกะกันเป็นสองฝูงเท่าๆกัน (จำนวนตัวเท่ากัน) ซึ่งชายคนที่ได้ฝูงแกะที่มีลูกแกะอยู่เสียเปรียบ(เพราะลูกแกะราคาถูกกว่า) ชายอีกคนจึงให้ปี่ของเขาเป็นการชดเชยส่วนต่าง อยากทราบว่าปี่อันนี้ราคากี่ดอลลาร์

หากใครต้องการโพสต์คำตอบพร้อมแนวคิด หรือโพสต์คำถามเพิ่มเติม เชิญได้ตรงนี้เลยครับ

[TOP]

ไม่ได้สังเกตว่ามีหัวข้อนี้อยู่ด้วย เอาเป็นว่าผมช่วยเพิ่มข้อสองให้อีกหนึ่งข้อ (เคยเฉลยในเว็บอื่นนานมากแล้ว) เป็นข้อสอบประถมศึกษาระดับโลกที่ฮ่องกง(PO LEUNG KUK) เอาไว้ฝึกสมองให้คิดในใจยามว่างได้ดีครับ

2. ชาย 3 คนมีเหรียญทองกองรวมกันอยู่ราวๆ 200 กว่าเหรียญ ครั้งแรกเขาแบ่งกันคนละ 1/2 , 1/3 และ 1/6 ของจำนวนเหรียญทั้งหมดตามลำดับได้หมดกองพอดี จากนั้นทั้ง 3 คนก็คืนเหรียญทองทั้งหมดกับไปเป็นกองเหมือนเดิม ครั้งต่อมาชายทั้ง 3 คน แต่ละคนต่างก็หยิบเหรียญทองในกองออกมาอีกจนเหรียญในกองหมดพอดี จากนั้นชายคนแรกก็นำเอาเหรียญทองจำนวน 1/2 ของที่เขาหยิบมาได้ทั้งหมดกลับคืนไปในกอง ชายคนที่สองก็นำเหรียญทองจำนวน 1/3 ของที่เขาหยิบมาได้ทั้งหมดกลับคืนไปในกอง และชายคนที่สามนำเหรียญทองจำนวน 1/6 ของที่เขาหยิบมาได้ทั้งหมดกลับคืนไปในกองเช่นกัน ถ้านำจำนวนเหรียญทองทั้งหมดที่ถูกคืนกลับมาในกองมาแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่าๆกันแล้วแจกให้กับชายแต่ละคน จะทำให้จำนวนเหรียญทองที่ชายแต่ละคนมีอยู่ทั้งหมดตอนนี้มีจำนวนเท่ากับจำนวนเหรียญทองที่แต่ละคนมีอยู่ในตอนที่เขาแบ่งกันครั้งแรกพอดี ถามว่าจำนวนเหรียญทองที่มีอยู่ในกองก่อนการแบ่งครั้งแรกมีจำนวนทั้งหมดกี่เหรียญ

ตรงที่เขียนว่า "แต่ละคนต่างก็หยิบเหรียญทองในกองออกมาอีกจนเหรียญในกองหมดพอดี" หมายความว่า จำนวนเหรียญทองที่แต่ละคนหยิบได้ ไม่จำเป็นต้องเท่ากันกับที่แบ่งกันในครั้งแรก

โอ๊ะโอ ดูเหมือนว่าคำถามผมจะไม่ตรงกับหัวข้อสักเท่าไร บังเอิญว่าอ่านปัญหาข้อแรก แล้วนึกถึงปัญหาข้อที่สองขึ้นมา เอาเป็นว่าขอฝากไว้สักข้อละกัน เพราะผมเคยเห็นหลายคนแก้ปัญหาข้อนี้ด้วยการใช้กำลังเข้าทุบตีอย่างบ้าคลั่ง สุดท้ายก็หมดแรง และโยนงานทั้งหมดให้คอมพิวเตอร์ช่วยแก้อีกต่างหาก

[nongtum]

ไม่เป็นไรครับตุณ top ดีซะอีกที่คำถามจะได้หลากหลาย(ตอนตั้งกระทู้ตอนแรก บังเอิญมีคนมาตั้งกระทู้ใหม่ต่อ นึกว่ากระทู้จะตายเสียแล้ว ) คำถามข้อสองนี้เหมาะมากสำหรับเด็กมอสาม ส่วนข้อแรก ไม่ยากอย่างที่คิด ลองคิดดูนะครับ

แนวคิดข้อสอง

ให้ c แทนจำนวนเหรียญทั้งหมด และ x,y,z แทนจำนวนเหรียญที่ชายทั้งสามคนหยิบไปในครั้งที่สอง ตามเงื่อนไขโจทย์เราจะได้ว่า\[
\begin{array}{rclcl}\\
\frac{1}{2}c&=&x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}(\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}z)&=&\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}y+\frac{1}{18}z\\
\frac{1}{3}c&=&y-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}(\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}z)&=&\frac{1}{6}x+\frac{7}{9}y+\frac{1}{18}z\\
\frac{1}{6}c&=&z-\frac{1}{6}z+\frac{1}{3}(\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}z)&=&\frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y+\frac{8}{9}z\\
\ c&&&=&x+y+z\\ \end{array}\]
แก้สมการหา x,y,z ในเทอมของ c จะได้ \((x,y,z)=(\frac{33}{47}c,\frac{13}{47}c,\frac{1}{47}c)\)
แต่ตามเงื่อนไขที่โจทย์ให้มา จะได้ \(47\cdot6|c\) และเนื่องจาก 200<c<300 จะได้ \(c=47\cdot6=282\) เป็นคำตอบ

เปิดกว้างสำหรับคำถามอื่นๆเสมอครับ

[TOP]

ข้อ 1 ราคาปี่เป็นสองเท่าของราคาลูกแกะรึเปล่า และคำถามนี้อยู่ในเรื่องใดของระดับมหาวิทยาลัยครับ

เฉลยข้อ 1

เนื่องจากเงินที่ได้จากการขายวัวคือ \( x^2 \) หารด้วย 12 ไม่ลงตัว ดังนั้น \( x \) จึงหารด้วย 2 และ 3 ไม่ลงตัว หรือ \( x \) หารด้วย 6 ไม่ลงตัวนั่นเอง

\( x \) จึงเขียนได้ในรูป \( 6m+n \) โดยที่ \( n = 1,2,3,4,5 \)
\( x^2 = (6m+n)^2 = 36m^2 + 12mn + n^2 \)
\( \frac{x^2}{12} = 3m^2 + mn + \frac{n^2}{12} \)
ราคาลูกแกะ คือ เศษเหลือจากการหาร \( x^2 \) ด้วย 12 จึงเท่ากับ เศษเหลือจากการหาร \( n^2 \) ด้วย 12

นอกจากนี้พวกเขาแบ่งแกะกันเป็นสองฝูงเท่าๆกัน หรือ \( 2 | \lceil 3m^2 + mn + \frac{n^2}{12} \rceil \)

กรณี \( n = 1,2,3 \) จะได้ \( 2 | (3m^2 + mn + 1) \)
จะพบว่ากรณีนี้ \( m \) ต้องเป็นจำนวนคี่ และ \( n \) ต้องเป็นจำนวนคู่เท่านั้น
ซึ่งก็เหลือเพียง \( n = 2 \) เท่านั้น

กรณี \( n = 4 \) จะได้ \( 2 | (3m^2 + 4m + 2) \)
จะพบว่ากรณีนี้ \( m \) ต้องเป็นจำนวนคู่เท่านั้น

กรณี \( n = 5 \) จะได้ \( 2 | (3m^2 + 5m + 3) \)
จะพบว่ากรณีนี้เป็นไปไม่ได้

ไม่ว่า \( n = 2 \) หรือ \( n = 4 \) ล้วนมีเศษเหลือจากการหาร \( n^2 \) ด้วย 12 เป็น 4 ทั้งสิ้น ดังนั้น ราคาลูกแกะจึงเป็น 4 ดอลลาร์
และเนื่องจาก ราคาปี่ + ราคาลูกแกะ = ราคาแกะ
ดังนั้น ราคาปี่ = 12 - 4 = 8 ดอลลาร์

เฉลยข้อ 2

เห็นได้ชัดว่าจำนวนเหรียญทั้งหมดต้องหารด้วย 6 ลงตัว

หลังจากลองผิดลองถูกได้สักพักหนึ่ง จะเริ่มรู้สึกละครับว่าปัญหาข้อนี้ทำจากด้านหน้าตรงๆได้ลำบาก เพราะขอบเขตของการลองแทนค่ามันเยอะเกินไป (หากคิดในใจ ) แต่หากใครลองคิดย้อนกลับจะเกิดสิ่งมหัศจรรย์ขึ้น คือ แทนที่เราจะเริ่มจาก ชายทั้งสามแบ่งเหรียญกันไปเป็นจำนวนที่เราไม่ทราบ จากนั้นทั้งสามแบ่งเหรียญเข้ากองกลาง และ ... ก็ให้สมมติย้อนกลับดังนี้

ขั้นที่ 1 เหรียญถูกแบ่งให้กับชายทั้งสามเป็น \(\frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{3} \) และ \( \frac{1}{6} \) ของจำนวนเหรียญทั้งหมดเรียบร้อยแล้ว

ขั้นที่ 2 จากนั้นเราจึงขอเหรียญคืนจากชายทั้งสามคนละ \( x \) ของจำนวนเหรียญทั้งหมด เพื่อนำมากองรวมกัน

ขั้นที่ 3 และแจกให้กับชายทั้งสามตามสัดส่วนของเหรียญที่แต่ละคนถืออยู่ แต่ละคนก็จะได้เหรียญเป็นจำนวนที่โจทย์ไม่ได้ระบุไว้นั่นเอง

ขั้นที่ 1 ชายคนแรกได้มา \( \frac{1}{2} \) ของจำนวนเหรียญทั้งหมด, ขั้นที่ 2 เมื่อจ่ายคืนให้กองกลาง \( x \) ของจำนวนเหรียญทั้งหมดแล้ว จึงเหลือจำนวนเหรียญคิดเป็น \(1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\) ของจำนวนเหรียญในขั้นที่ 3, จำนวนเหรียญในขั้นที่ 3 จึงเป็น \(\frac{2}{1}(\frac{1}{2} - x)\) ของจำนวนเหรียญทั้งหมด

ขั้นที่ 1 ชายคนที่สองได้มา \(\frac{1}{3}\) ของจำนวนเหรียญทั้งหมด, ขั้นที่ 2 เมื่อจ่ายคืนให้กองกลาง \( x \) ของจำนวนเหรียญทั้งหมดแล้ว จึงเหลือจำนวนเหรียญคิดเป็น \(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) ของจำนวนเหรียญในขั้นที่ 3, จำนวนเหรียญในขั้นที่ 3 จึงเป็น \(\frac{3}{2}(\frac{1}{3} - x)\) ของจำนวนเหรียญทั้งหมด

ขั้นที่ 1 ชายคนที่สามได้มา \(\frac{1}{6}\) ของจำนวนเหรียญทั้งหมด, ขั้นที่ 2 เมื่อจ่ายคืนให้กองกลาง \( x \) ของจำนวนเหรียญทั้งหมดแล้ว จึงเหลือจำนวนเหรียญคิดเป็น \(1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\) ของจำนวนเหรียญในขั้นที่ 3, จำนวนเหรียญในขั้นที่ 3 จึงเป็น \(\frac{6}{5}(\frac{1}{6} - x)\) ของจำนวนเหรียญทั้งหมด

ขั้นที่ 3 นำจำนวนเหรียญของชายทั้งสามมารวมกัน จะได้
\(
\begin{array}{rcl}
& = & 2(\frac{1}{2} - x) + \frac{3}{2}(\frac{1}{3} - x) + \frac{6}{5}(\frac{1}{6} - x) ของจำนวนเหรียญทั้งหมด\\
& = & 1 - 2x +\frac{1}{2} - \frac{3x}{2} + \frac{1}{5} - \frac{6x}{5} ของจำนวนเหรียญทั้งหมด\\
& = & \frac{17}{10} - \frac{47x}{10} ของจำนวนเหรียญทั้งหมด\\
& = & 1 + (\frac{7}{10} - \frac{47x}{10}) ของจำนวนเหรียญทั้งหมด\\
\end{array}
\)

ดังนั้น \(x = \frac{7}{47}\) ของจำนวนเหรียญทั้งหมด
แสดงว่าจำนวนเหรียญทั้งหมด หารด้วย 47 ลงตัว นอกจากนี้เราทราบตั้งแต่แรกแล้วว่า หารด้วย 6 ลงตัวเช่นกัน ดังนั้นจำนวนเหรียญทั้งหมดต้องหารด้วย 6\(\times\)47= 282 ลงตัว และเนื่องจาก 282 อยู่ในช่วงที่โจทย์กำหนดไว้พอดี จึงได้ว่าจำนวนเหรียญทั้งหมดที่มีอยู่ในกอง ก่อนการแบ่งครั้งแรกมีจำนวนทั้งหมด 282 เหรียญ

[nongtum]

ข้อแรกพบได้ใน quadratic residues ครับ

ข้อแรก(เวอร์ชันมหาวิทยาลัย?)

ให้ s แทนจำนวนแกะ และ l แทนราคาลูกแกะ จากโจทย์จะได้ \(x^2=12s+l\)
สำหรับจำนวนเต็ม z ใดๆจะได้ว่า \(z^2\equiv0, 1\ (mod\ 3)\) และ \(z^2\equiv0, 1\ (mod\ 4)\) ดังนั้นโดย chinese remainder theorem จะได้ \(z^2\equiv0, 1, 4, 9\ (mod\ 12)\)
ให้ h แทนราคาปี่ เพราะ 12-h=l+h จะได้ l=12-2h ดังนั้น l ต้องเป็นจำนวนคู่ (=4, เพราะ 12 หาร x² ไม่ลงตัว) และจะได้ h=4
(ตรงนี้หากจะมองว่าปี่ที่ให้ คนให้ไม่เสียอะไรเลย ก็จะเป็นอย่างที่คุณ gon ทำครับ แต่ในที่นี้เรามองว่าคนให้ปี่ก็เสียประโยชน์)