พิสูจน์เกี่ยวกับตรีโกณมิติ

[[FC]_Inuyasha]

กำหนด รูปสามเหลี่ยม ABC มีด้านตรงข้ามมุม A,B,C ยาว a,b,c จงพิสูจน์ว่า
$\frac{tan(\frac{A}{2}+\frac{B}{2})}{tan(\frac{A}{2}-\frac{B}{2})}=\frac{a+b}{a-b}$
ช่วยทีครับ

[Amankris]

ไม่จริงนะครับ ลองเช็คดูดีๆ

[[FC]_Inuyasha]

ขอโทษครับ แก้ไขให้แล้ว

[Amankris]

ใช้ Law of Sine กับพจน์ด้านขวา จากนั้นก็เอกลักษณ์ธรรมดาครับ

[กิตติ]

$\frac{tan(\frac{A}{2}+\frac{B}{2})}{tan(\frac{A}{2}-\frac{B}{2})}=\frac{a+b}{a-b}$

ผมทำทางด้านซ้ายมือของเราไปด้านขวา

$\dfrac{tan(\frac{A}{2}+\frac{B}{2})}{tan(\frac{A}{2}-\frac{B}{2})}=\dfrac{2sin\left(\,\frac{A+B}{2} \right)cos\left(\,\frac{A-B}{2}\right) }{2cos\left(\,\frac{A+B}{2} \right)sin\left(\,\frac{A-B}{2}\right) } $

$=\dfrac{sin\left\{\,\left(\,\frac{A+B}{2} +\frac{A-B}{2} \right) \right\} +sin\left\{\,\frac{A+B}{2}-\frac{A-B}{2} \right\} }{sin\left\{\,\left(\,\frac{A+B}{2} +\frac{A-B}{2} \right) \right\} -sin\left\{\,\frac{A+B}{2}-\frac{A-B}{2} \right\} }$

$=\frac{sinA+sinB}{sinA-sinB} $

$=\frac{1+\frac{sinB}{sinA} }{1-\frac{sinB}{sinA}} $

จากกฎของsin$\frac{sinB}{sinA}=\frac{b}{a} $

$=\frac{1+\frac{b}{a}}{1-\frac{b}{a}} $

$=\frac{a+b}{a-b}$

[กิตติ]

ทีนี้ลองทำจากด้านขวามือดู

$\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{\frac{a+b}{a} }{\frac{a-b}{a} }=\frac{1+\frac{b}{a}}{1-\frac{b}{a}} $

จาก$\frac{sinB}{sinA} =\frac{b}{a} $

$\frac{1+\frac{b}{a}}{1-\frac{b}{a}} =\dfrac{sinA+sinB}{sinA-sinB} $

แปลงผลบวกเป็นผลคูณ

$\dfrac{sinA+sinB}{sinA-sinB}=\frac{2sin\frac{A+B}{2} cos\frac{A-B}{2} }{2cos\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}} $

$=\frac{tan(\frac{A}{2}+\frac{B}{2})}{tan(\frac{A}{2}-\frac{B}{2})}$

[[FC]_Inuyasha]

ว้าว ขอบคุณครับ

[กิตติ]

ไม่รู้ว่าคุณAmankrisจะเอ็ดผมไหม....เพราะเล่นทำให้ดูหมดเลย ผมเห็นด้วยกับคุณAmankrisนะที่ว่า อยากลองให้เจ้าของคำถามลองคลำทาง ลองทำดูก่อน
อย่าเพิ่งเชื่อผมนะ ผมน่ะหลงๆลืมๆประจำ

[Amankris]

@#8

ก็แล้วแต่คนน่ะครับ

แต่ผมว่าซ่อนไว้หน่อยก็ดีนะครับ (เผื่อคนที่เค้าอยากคิด เลื่อนลงมาเจอ Soln อดคิดเลย = =")