อสมการ.. .ครับ

[{ChelseA}]

1.$a,b,c > 0 และ (a^2+b^2+c^2)^2\geqslant 9(a+b+c)$ จงแสดงว่า
$19(a^2+b^2+c^2)+6(ab+bc+ca)\geqslant 36(a+b+c)$

2. $a,b,c,d >0$ จงแสดงว่า
$a^4b+b^4c+c^4d+d^4a\geqslant abcd(a+b+c+d)$

[nooonuii]

2. Weighted AM-GM ตรงๆครับ

[{ChelseA}]

พี่ครับคืออยากถามว่า ข้อ 2 นี่ใช้จัดเรียงได้ป่าวครับๆๆ

[nooonuii]

ถ้าใช้อสมการการจัดเรียงจะต้องหาชุดตัวเลขที่เรียงไปในทิศทางเดียวกันสำหรับด้านซ้าย

หรือไม่ก็ต้องหาชุดตัวเลขที่เรียงสวนทางกันสำหรับด้านขวา แต่ผมยังหาไม่เจอครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ {ChelseA}

1.$a,b,c > 0 และ (a^2+b^2+c^2)^2\geqslant 9(a+b+c)$ จงแสดงว่า
$19(a^2+b^2+c^2)+6(ab+bc+ca)\geqslant 36(a+b+c)$

AM-GM
$19(a^2+b^2+c^2)+6(ab+bc+ca)=16(a^2+b^2+c^2)+3(a+b+c)^2$
$= 6(\frac{8}{3})(a^2+b^2+c^2)+3(a+b+c)^2\ge 9\cdot\sqrt[9]{(\frac{8}{3})^6(a^2+b^2+c^2)^6(a+b+c)^6}$
$\ge 9\sqrt[9]{(\frac{8}{3})^69^3(a+b+c)^3(a+b+c)^6}=9\sqrt[9]{(8)^6(a+b+c)^9}=36(a+b+c)$

[Keehlzver]

ข้อ 2

$\frac{23}{51}a^4b+\frac{7}{51}b^4c+\frac{11}{51}c^4d+\frac{10}{51}d^4a\geq \sqrt[51]{a^{102}b^{51}c^{51}d^{51}}=a^2bcd$

อีก 3 สมการที่เหลือก็ทำแบบนี้ ตัวน้ำหนักมันจะบวกกันได้ 1 พอดี ก็จะได้อสมการที่ต้องการ

เวลาทำก็ทดเลขเเก้สมการตามนี้ครับ สมมติให้พจน์ $a^4b,b^4c,c^4d,d^4a$ มี $x,y,z,w$ พจน์ตามลำดับ จะได้ระบบสมการที่ต้องแก้คือ

$4x+w=2$
$x+4y=1$
$y+4z=1$
$z+4w=1$

ได้ $(x,y,z,w)=(\frac{23}{51},\frac{7}{51},\frac{11}{51},\frac{10}{51})$

หวังว่าคงจะเป็นประโยชน์บ้างนะครับ

[Keehlzver]

ผมจะอธิบายเพิ่มเติมในส่วนของสมการ 4 สมการข้างบนว่ามาได้ยังไง

คือว่าเราสมมติก่อนเลยว่าเราต้องการให้ $(x)a^4b+(y)b^4c+(z)c^4d+(w)d^4a \geq a^2bcd$
แล้วทำแบบนี้กับอีก 3 สมการ รวมกันเราได้มา 4 สมการ ตั้งใจว่าจะให้สมการทั้ง 4 นั้นบวกกันได้ $a^2bcd+ab^2cd+abc^2d+abcd^2$ ทางฝั่งขวา แต่เราไม่รู้ว่าต้องใช้ $a^4b,b^4c,c^4d,d^4a$ อย่างละกี่พจน์ ผมก็เลยสมมติให้เป็น $x,y,z,w$ พจน์ตามลำดับ

ทีนี้เราก็มาดูว่าอสมการเมื่อพิจารณาทางฝั่งซ้าย $(x)a^4b+(y)b^4c+(z)c^4d+(w)d^4a \geq a^2bcd$ โดยเทียบเลขชี้กำลังอสมการนี้เป็นเกณฑ์ เลขชี้กำลังรวมของ $a$ ทางฝั่งซ้ายนี้คือ $4x+w$ ซึ่งจะต้องเท่ากับฝั่งขวาคือ $2$ เพราะฉะนั้น $4x+w=2$

ทีนี้มาดู $b$ ทางฝั่งซ้ายบ้าง เลขชี้กำลังรวมของ $b$ ทางฝั่งซ้ายคือ $x+4y$ จะต้องเท่ากับทางฝั่งขวาคือ $1$ เพราะฉะนั้น $x+4y=1$ ส่วนที่เหลือ $c,d$ ก็ทำในทำนองเดียวกัน อย่าลืมว่า $x+y+z+w=1$ ด้วย เพราะเราต้องการให้ทางฝั่งซ้ายบวกกันครบ 4 สมการแล้วได้ $a^4b+b^4c+c^4d+d^4a$ พอดี

เข้าใจไหมครับ?

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ผมจะอธิบายเพิ่มเติมในส่วนของสมการ 4 สมการข้างบนว่ามาได้ยังไง

คือว่าเราสมมติก่อนเลยว่าเราต้องการให้ $(x)a^4b+(y)b^4c+(z)c^4d+(w)d^4a \geq a^2bcd$
แล้วทำแบบนี้กับอีก 3 สมการ รวมกันเราได้มา 4 สมการ ตั้งใจว่าจะให้สมการทั้ง 4 นั้นบวกกันได้ $a^2bcd+ab^2cd+abc^2d+abcd^2$ ทางฝั่งขวา แต่เราไม่รู้ว่าต้องใช้ $a^4b,b^4c,c^4d,d^4a$ อย่างละกี่พจน์ ผมก็เลยสมมติให้เป็น $x,y,z,w$ พจน์ตามลำดับ

ทีนี้เราก็มาดูว่าอสมการเมื่อพิจารณาทางฝั่งซ้าย $(x)a^4b+(y)b^4c+(z)c^4d+(w)d^4a \geq a^2bcd$ โดยเทียบเลขชี้กำลังอสมการนี้เป็นเกณฑ์ เลขชี้กำลังรวมของ $a$ ทางฝั่งซ้ายนี้คือ $4x+w$ ซึ่งจะต้องเท่ากับฝั่งขวาคือ $2$ เพราะฉะนั้น $4x+w=2$

ทีนี้มาดู $b$ ทางฝั่งซ้ายบ้าง เลขชี้กำลังรวมของ $b$ ทางฝั่งซ้ายคือ $x+4y$ จะต้องเท่ากับทางฝั่งขวาคือ $1$ เพราะฉะนั้น $x+4y=1$ ส่วนที่เหลือ $c,d$ ก็ทำในทำนองเดียวกัน อย่าลืมว่า $x+y+z+w=1$ ด้วย เพราะเราต้องการให้ทางฝั่งซ้ายบวกกันครบ 4 สมการแล้วได้ $a^4b+b^4c+c^4d+d^4a$ พอดี

เข้าใจไหมครับ?

ขอบคุณมากครับ ขอโจทย์อีกได้ไหมครับ