|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#91
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
WLOG $a \ge b \ge c$ เอา 3 ไปลบ จะได้อสมการสมมูลกับ $\sum_{cyc} \frac{2a^2-(b^2+c^2)}{a^2+(b+c)^2} \ge 0$ เนื่องจาก $2a^2-(b^2+c^2) \ge 2b^2-(c^2+a^2) \ge 2c^2-(a^2+b^2)$ และ $\frac{1}{a^2+b^2+c^2+2bc} \ge \frac{1}{a^2+b^2+c^2+2ca} \ge \frac{1}{a^2+b^2+c^2+2ab} $ โดย Chebychev inequality จะได้ว่า $\sum_{cyc} \frac{2a^2-(b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+2bc} \ge \frac{2a^2+2b^2+2c^2-(a^2+b^2)-(b^2+c^2)-(c^2+a^2)}{3}(\frac{1}{a^2+b^2+c^2+2bc} + \frac{1}{a^2+b^2+c^2+2ca} + \frac{1}{a^2+b^2+c^2+2ab}) = 0$ $\therefore \sum_{cyc} \frac{2a^2-(b^2+c^2)}{a^2+(b+c)^2} = \sum_{cyc} \frac{2a^2-(b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+2bc} \ge 0 \ \ \ \square$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... 15 เมษายน 2011 17:55 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ LightLucifer |
#92
|
||||
|
||||
ต้องขอโทษคุณ Light ที่เป็นเจ้าของกระทู้ด้วยครับที่ผมเอาโจทย์ที่ไม่ได้แต่งเองมาโพสต์ว่าคือโจทย์ข้อแรก เป็นโจทย์ของ Titu ใจจริงๆผมอยากให้คุณจูกัดเหลียงได้ทราบเอกลักษณ์ตัวนี้ครับ $(x+y+z)^5-x^5-y^5-z^5=5(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)(x+y)(y+z)(z+x)$
ส่วนอีกข้อใจจริงๆผมอยากให้ใครที่ยังไม่รู้วิธีใช้ AM-GM แบบเศษส่วนบวกกันแล้วหายไปได้ลองฝึกใช้ครับ ห้องอสมการเล่นกันก็แค่ไม่กี่คน แต่คนที่มาดูนี่เยอะพอสมควรเลย ผมอยากให้รู้เทคนิคพวกนี้เอาไว้ สำหรับคนที่ไม่มีเวลา Search ขออภัยด้วยครับ
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" 15 เมษายน 2011 16:01 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Keehlzver |
#93
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
Brute force !! $(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)\le (a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)$ $\leftrightarrow \sum_{cyc}a^6b^3 +\sum_{cyc}a^3b^6\ge \sum_{cyc}a^4bc^3+\sum_{cyc}a^5b^2c^2$ โดย AM-GM จะได้ $\sum_{cyc}a^6b^3 =\sum_{cyc}\frac{2}{3}a^6b^3+\frac{1}{3}c^6a^3 \ge \sum_{cyc} a^5b^2c^2$ และ $\sum_{cyc}a^3b^6=\sum_{cyc}\frac{1}{3}b^3c^6+\frac{2}{3}c^3a^6 \ge \sum_{cyc}a^4bc^4$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#94
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
มาได้อย่างไร ครับ |
#95
|
||||
|
||||
จริงด้วย ครับ แหะๆ ลืมไป
แก้แล้วครับ ช่วยเช็คหน่อยนะครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... 15 เมษายน 2011 17:55 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ LightLucifer |
#96
|
||||
|
||||
#95
ก็ OK. ครับ เสนอให้อีกวิธีครับ $\sum_{cyc} \frac{3a^2+2bc}{a^2+(b+c)^2} \ge 3\Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{(a-b)^2(a+b)(2c)}{(a^2+(b+c)^2)(b^2+(c+a)^2)} \ge 0$ |
#97
|
||||
|
||||
ว่าเเต่ ไวแยร์สตราสส์ ถูกไหมครับ คือไม่รู้ว่ายกกำลังเป็นเศษส่วนได้หรือเปล่าอ่ะครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#98
|
|||
|
|||
ถ้ายกกำลังเป็นเศษส่วนแล้วเราจะนับจำนวนครั้งได้มั้ยครับ ยังไม่ได้ดูละเอียด
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#99
|
||||
|
||||
Let $a,b,c>0$ such that $a+b+c=3$
Prove that $$\frac{a^4}{a^3+3}+\frac{b^4}{b^3+3}+\frac{c^4}{c^3+3} \ge \frac{3}{4}$$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#100
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ดังนั้น LHS $\geq \dfrac{(13a-9)+(13b-9)+(13c-9)}{16}=\dfrac{3}{4}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#101
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ให้ $x=a+b,y=b+c,z=c+a$ จะได้ อสมการสมมูลกับ $$\sqrt{\frac{x-y+z}{2(x+z)}}+\sqrt{\frac{x+y-z}{2(x+y)}}+\sqrt{\frac{-x+y+z}{2(y+z)}}\leqslant \frac{3}{2}$$ $$\Leftrightarrow \sum_{cyc} \sqrt{\frac{1}{2}-\frac{x}{2(y+z)}}\leqslant \frac{3}{2}$$ จากอสมการของ โคชี จะได้ $$ \sum_{cyc} \sqrt{\frac{1}{2}-\frac{x}{2(y+z)}} \leqslant \sqrt{3}\sqrt{\frac{3}{2}-(\sum_{cyc} \frac{x}{2(y+z)})}$$ นั่นคือ เราต้องการ $$\frac{1}{2}(\sum_{cyc} \frac{x}{y+z}) \geqslant \frac{3}{4}$$ ซึ่งเป็นจริงโดย $A.M.-H.M.$
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#102
|
|||
|
|||
16. $a,b,c>0$
$a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\geq 3(a-b)(b-c)(c-a)$ 17. $a,b,c\geq 0$ $(a+b-c)^3+(b+c-a)^3+(c+a-b)^3\geq a^3+b^3+c^3$ 18. $a,b,c>0$ อสมการต่อไปนี้เป็นจริงอย่างน้อยหนึ่งอสมการ $a+b+c\leq a^2+b^2+c^2$ $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\leq \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}$ 19. $a,b,c\in [-1,1]$ โดยที่ $a+b+c=0$ จงหาค่าสูงสุดของ $|a|+|b|+|c|$ 20. $a,b,c\geq 0$ $a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\leq\dfrac{3}{2}\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#103
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\geq 3(a-b)(b-c)(c-a)$ $\leftrightarrow \sum_{cyc}a^3+\sum_{cyc}a^2b \ge 2\sum_{cyc}ab^2$ $\leftrightarrow \sum_{cyc}(b^3+a^2b) \ge 2\sum_{cyc}ab^2$ ซึ่งเป็นจริงโดย AM-GM $b^3+a^2b \ge 2ab^2 \ \ \ \ \square$ อ้างอิง:
ให้ $p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc$ $(a+b-c)^3+(b+c-a)^3+(c+a-b)^3\geq a^3+b^3+c^3$ $\leftrightarrow \sum_{cyc}(a+b+c-2c)^3 \ge a^3+b^3+c^3$ $\leftrightarrow \sum_{cyc} (p^3-6p^2c+12pc^2-8c^3) \ge a^3+b^3+c^3$ $\leftrightarrow 3p^3-6p^3+12p(p^2-2q) \ge 9(a^3+b^3+c^3)=9(p^3-3pq+3r)$ $\leftrightarrow 3pq \ge 27r\rightarrow pq \ge 9r$ นั่นคือ $(a+b+c)(ab+bc+ca) \ge 3\sqrt[3]{abc}\cdot 3\sqrt[3]{(abc)^2}=9abc$ ซึ่งเป็นจริงโดย AM-GM อ้างอิง:
$a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\leq\dfrac{3}{2}\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}$ $\leftrightarrow \sum_{cyc}a^2b+\sum_{cyc}ab^2+2\sum_{cyc}(ab)(\sqrt{b+c}\cdot \sqrt{c+a}) \le \dfrac{9}{4}(\sum_{cyc}a^2b+\sum_{cyc}ab^2+2abc)$ $\leftrightarrow 4\sum_{cyc}a^2b+4\sum_{cyc}ab^2+8\sum_{cyc}(ab)(\sqrt{b+c}\cdot \sqrt{c+a}) \le 9(\sum_{cyc}a^2b+\sum_{cyc}ab^2+2abc)$ AM-GM $8\sum_{cyc}(ab)(\sqrt{b+c}\cdot \sqrt{c+a}) \le \sum_{cyc}4(ab)(a+b+2c)= 4\sum_{cyc}a^2b+4\sum_{cyc}ab^2+24abc \le 5\sum_{cyc}a^2b+5\sum_{cyc}ab^2+18abc$ $\therefore 4\sum_{cyc}a^2b+4\sum_{cyc}ab^2+8\sum_{cyc}(ab)(\sqrt{b+c}\cdot \sqrt{c+a}) \le 9\sum_{cyc}a^2b+9\sum_{cyc}ab^2+18abc=9(\sum_{cyc}a^2b+\sum_{cyc}ab^2+2abc) \ \ \ \square$ Let $a,b,c>0$ Prove that $$(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2+3(a-b)^2+3(b-c)^2+3(c-a)^2 \ge 6(a-b)(b-c)(c-a)$$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... 17 เมษายน 2011 00:04 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ LightLucifer |
#104
|
||||
|
||||
ขอลองข้อข้างบนคุณว่าที่เหรียญทอง
สมมติ $c=max(a,b,c)$ อสมการสมมูลกับ $(2(a+b)^2+6)(a-b)^2+(2(a+c)(b+c)+6a+6-6b)(a-c)(b-c) \geq 0$ ซึ่ง Obvious
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" 16 เมษายน 2011 17:57 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Keehlzver |
#105
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ให้ $x=a+b,y=b+c,z=c+a$ เเละ $WLOG$ ว่า $z\leqslant y\leqslant x$ จะได้ $$(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2+3(a-b)^2+3(b-c)^2+3(c-a)^2 \ge 6(a-b)(b-c)(c-a)$$ $$\Leftrightarrow \sum_{cyc} x^2y^2+3\sum_{cyc} xy^2 \geqslant 3\sum_{cyc} x^2y+\sum_{cyc} x^2yz$$ ดังนั้น เราจึงต้องการ $$\sum_{cyc} xy^2\geqslant \sum_{cyc} x^2y ...(*)$$ เเละ $$\sum_{cyc} x^2y^2 \geqslant \sum_{cyc} x^2yz ...(**)$$ $$...(*)\Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{1}{x^2}(\frac{1}{y}-\frac{1}{z})\geqslant \sum_{cyc} \frac{1}{x^2}(\frac{1}{y}-\frac{1}{z})(\frac{1}{z}-\frac{1}{x})\geqslant 0$$ $$...(**) \Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{x}{z}(y-z) \ge \sum_{cyc} \frac{x}{z}(y-z)(z-x) \ge 0$$ โดยอสมการ 2 พจน์สุดท้ายเป็นจริงจาก เเละ $Schur's$ อ่าว มีคนเขียน SOLN เเล้วเหรอเนี่ย (บรรทัดเดียวอีก) ว่าเเต่คุณ #104 ทำไมเขียนออกมาในรูปแบบนั้นเก่งจังครับ ทำอย่างไร
__________________
Vouloir c'est pouvoir 17 เมษายน 2011 17:09 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
|
|