สูตรหาพื้นที่เมื่อรู้ทุกด้าน

[ฝันบรรเจิด]

ผมอยากทราบว่า เราจะสามารถหาสูตรเหล่านี้ได้ยังไงครับ

1) สูตรหาพื้นที่ 5 เหลี่ยมด้านไม่เท่า เมื่อ ทราบความยาว 5 ด้าน

2) สูตรหาพื้อนที่ 6 เหลี่ยมด้านไม่เท่า เมื่อ ทราบความยาว 6 ด้าน

.
.
.
n) สูตรหาพื้อนที่ n เหลี่ยมด้านไม่เท่า เมื่อ ทราบความยาว n ด้าน

ใครทราบช่วยบอกหน่อยนะครับ ..^^

[TOP]

ไม่มีสูตรที่ว่าครับ เพราะรู้แค่ความยาวด้านทั้งหมด ยังไม่เพียงพอที่จะกำหนดรูปร่างของรูปหลายเหลี่ยมนั้นได้ ไม่ต้องจินตนาการไปไกลถึงรูปห้าเหลี่ยม แม้กระทั่งทราบความยาวด้านทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยม ก็ยังไม่สามารถหาพื้นที่ได้เลย

หากน้องเคยต่อชั้นวางของที่เป็นโครงเหล็กหลายชิ้นมาประกอบกัน และไขน็อตหลวมๆ จะพบว่าหากเราออกแรงดัน ชั้นวางของจะโยกเยกไปมามีรูปร่างและพื้นที่ไม่คงที่ได้ ทั้งๆที่ความยาวของแต่ละด้านคงเดิมไม่เปลี่ยนแปลง

ดังนั้นก่อนจะคิดไปถึงการหาพื้นที่ ต้องแน่ใจก่อนว่ารูปหลายเหลี่ยมนั้น มีหนึ่งเดียวหรือ มีพื้นที่คงที่จริงๆ โดยอาจต้องกำหนดสมบัติอื่นเพิ่มเติมเช่น เป็นสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม (วงกลมผ่านจุดมุมทั้งสี่ของสี่เหลี่ยมได้) ก็จะได้สูตรพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมของ Brahmagupta คือ
\[\begin{array}{rcl} \text{พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม} & = & \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \\ \text{โดย}\ s & = & \frac{a+b+c+d}{2} \end{array}\]
สูตรพื้นที่รูปสามเหลี่ยมของ Heron ก็เป็นสูตรกรณีพิเศษของ สูตรพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมของ Brahmagupta เพราะสามเหลี่ยมทุกรูปมีวงกลมล้อมรอบได้เสมอ โดยกำหนดให้ด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมมีความยาวเป็น \(0\) เช่นกำหนดให้ \(d = 0\) ก็จะได้สูตรพื้นที่รูปสามเหลี่ยมของ Heron คือ
\[\begin{array}{rcl} \text{พื้นที่รูปสามเหลี่ยม} & = & \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ \text{โดย}\ s & = & \frac{a+b+c}{2} \end{array}\]
ปัญหาที่น่าสนใจลงไปศึกษาจึงเป็น

• ทำไมเงื่อนไข "เป็นสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม" จึงทำให้พื้นที่สี่เหลี่ยมนั้นคงที่ได้ เมื่อทราบความยาวด้านทั้งสี่
• ด้วยเงื่อนไขในลักษณะเดียวกันนี้ จะทำให้ รูปห้าเหลี่ยมแนบในวงกลม มีพื้นที่คงที่ เมื่อทราบความยาวด้านทั้งห้า เช่นเดียวกันหรือไม่ ถ้าเป็นไปได้จริง จะมีสูตรพื้นที่รูปห้าเหลี่ยมดังกล่าวเป็นอะไร
• อันนี้เป็นคำถามแถมครับ ทบทวนความทรงจำ ไม่รู้ว่าหลายคนจะยังจำได้ไหมว่า ทำไมรูปสามเหลี่ยมใดๆ ที่มีความยาวฐานเท่ากัน และมีความสูงเท่ากัน จึงมีพื้นที่เท่ากันทุกรูป คำถามนี้ถามถึงที่มาของสูตรพื้นที่รูปสามเหลี่ยมนั่นเอง

[gon]

อืม. มองว่า d = 0 จาก 4 ไป 3 นี่ไม่เคยมองมาก่อนเหมือนกัน !!! ว้าว ...

[jojo]

เยี่ยมมากครับ ผมไม่เคยนึกข้อนี้มาก่อนเลย ขอบคุณมาก

[prasonk]

ขอบคุณมากเลยผมมองข้ามเรื่องนี้มานาน