ข้อสงสัย เกี่ยวกับ A.M-G.M ครับ

[จูกัดเหลียง]

ต้องการหาค่าตำ่สุดที่เป็นไปได้ของ $(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2$ เเต่ได้ออกมา 2 เเบบอ่ะครับ
คิดเเบบกรณีเเรก $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\ge 3\sqrt[3]{2a^3b^3}=3\sqrt[3]{2}ab$
ทำนองเดียวกัน จะได้ว่า
$(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2\ge 3\sqrt[3]{2}(ab+bc+ca)$
เเต่
คิดเเบบกรณีที่ 2 $(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2\ge 4(a^2+b^2+c^2)\ge4 (ab+bc+ca)$

ทำไมมันได้ ไม่เท่ากันอ่ะครับ หรืออสมการอันล่างตกขอบไป

[LightLucifer]

กรณีแรกมันจะเป็นสมการตอนไหนครับ??

[จูกัดเหลียง]

เมื่อ $a,b,c=0$ หรือเปล่าครับ = =

[LightLucifer]

จะบอกว่าตกขอบก็ไม่เชิงครับ
เรียกว่ากรณีที่สองมันแข็งกว่าดีกว่า
เวลาทำโจทย์ส่วนใหญ่เราก็เลือกกรณีที่สองจะดีกว่า
กรณีที่สอง อสมการแรกมันผิดนะ แต่สุดท้ายก็มากกว่าหรือเท่ากับ $4(ab+bc+ca)$

ปล. โพสแรกขอโทษทีครับ ช่วงนี้ฝืดมาก 55+

[จูกัดเหลียง]

555+ จริงด้วยดิครับ
เบลออีก
ปล. ขอบคุณที่ชี้แนะครับ