ความสัมพันธ์เวียนเกิด

[Mol3ius]

1.กระปุกออมสินว่างอันหนึ่ง วันแรกหยอดเหรียญ 5 บาท 2 เหรียญ วันที่สองหยอดเหรียญ 1 บาท 4 เหรียญ วันที่สามหยอดเหรียญ 10 บาท 1 เหรียญ สลับไปเรื่อยๆ จงหาความสัมพันธ์เวียนเกิดในวันที่ n และ close form

2.มี locker เรียงในแนวตรง เบอร์ 1 ? 256 มีนักเรียนคนหนึ่งเปิดหมายเลข 1 แล้วข้ามไปหนึ่งตู้เพื่อเปิดตู้ถัดไป สลับไปเรื่อยๆ จนสุดทางเดิน ก็หันกลับมาเปิด locker ที่ปิดอยู่ โดยเริ่มเปิด locker ที่ปิดอันแรกที่เจอ กระทำแบบเดิมคือข้าม locker ที่ปิดไปใบหนึ่งเพื่อเปิด locker ที่ปิดอันถัดไป ทำซ้ำไปเรื่อยๆ จนทุกตู้เปิด อยากทราบว่าตู้ที่ถูกเปิดตู้สุดท้ายคือหมายเลขอะไร

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mol3ius

1.กระปุกออมสินว่างอันหนึ่ง วันแรกหยอดเหรียญ 5 บาท 2 เหรียญ วันที่สองหยอดเหรียญ 1 บาท 4 เหรียญ วันที่สามหยอดเหรียญ 10 บาท 1 เหรียญ สลับไปเรื่อยๆ จงหาความสัมพันธ์เวียนเกิดของจำนวนเงินในวันที่ n และ close form

วันที่ 1, 2, 3, ... จะมีเงินเก็บเป็นจำนวน

10, 14, 24, 34, 38, 48, 58, ... ตามลำดับ

จะเห็นว่า

$a_4 = a_1+4+10+10 = a_1 + 24$
$a_5 = a_2+10+10+4 = a_2 + 24$
$a_6 = a_3+10+4+10 = a_3 + 24$

เช่นนี้เรื่อยไป ดังนั้น $a_n = a_{n-3}+24$ เมื่อ $n>3$ และ $a_1=10, a_2=14, a_3=24$ เป็นความสัมพันธ์เวียนเกิดของจำนวนเงินในวันที่ n

ซึ่งจาก $a_n = a_{n-3}+24$ จะได้ว่า $a_n+a_{n-1}+a_{n-2} = 24n-24$ เป็นความสัมพันธ์เวียนเกิดที่สมมูลกัน และจากความสัมพันธ์เวียนเกิดอันหลังนี้ เมื่อแก้สมการได้สูตรว่า $$a_n = 8n + \frac{4}{\sqrt{3}}\sin\frac{2\pi n}{3}$$ เป็นรูปแบบปิดครับ.

ปล. นี่ไม่ใช่ปัญหาระดับ ม.ต้นเลยนะครับ. ย้าย ๆ

[Mol3ius]

ขอบคุณครับ รบกวนข้อ 2 อีกข้อนะครับ

[Amankris]

#3
นั่งไล่ตรงๆก็ได้ครับ ไม่กี่รอบเอง