พิสูจน์ไม่ออก ช่วยทีครับ

[Zadoemigil]

$A_{nm}$ เป็นลำดับไม่ลด สำหรับทุก $1\leq m\leq n$
(${A_{n1}}\leq{A_{n2}}\leq\cdots\leq{A_{n{n-1}}\leq{A_{nn}}}$)
โดยที่(รันที่m)
$${A_{nm}}=\frac{1}{2m}\left(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n-1}+\cdots+\frac{1}{2(n-m)+3}\right)$$
หรือ
$${A_{nm}}=\frac{1}{2m}\left(\frac{1}{2(n-m)+3}+\frac{1}{2(n-m)+5}+\cdots+\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}\right)$$

รบกวนด้วยครับ ขอบคุณ

[Amankris]

ให้ทำอะไรครับ

[Zadoemigil]

พิสูจน์ว่าเป็นลำดับไม่ลดครับ

[Amankris]

กระจายไม่ออกหรือ

$A_{n_m}\le A_{n_{m+1}}$

[Zadoemigil]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

กระจายไม่ออกหรือ

$A_{n_m}\le A_{n_{m+1}}$

ลองแล้วครับ แต่มันเห็นไม่ค่อยชัดครับ ว่า $A_{n_m}\le A_{n_{m+1}}$

[Amankris]

Hint

$2(m+1)A_{n_{m+1}}-2mA_{n_m}=\dfrac{1}{2(n-m)+1}$

[Zadoemigil]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

Hint

$2(m+1)A_{n_{m+1}}-2mA_{n_m}=\dfrac{1}{2(n-m)+1}$

เราสรุปว่า $2(m+1)A_{n_{m+1}}-2mA_{n_m}=\dfrac{1}{2(n-m)+1}$
แล้วเราจะสรุปได้ว่า $A_{n_{m+1}}-A_{n_m}\ge0$ ได้หรอครับ
คือผมมองยังไม่ออกครับ

[Amankris]

#7
จัดรูปหน่อยครับ นิดเดียวก็เห็นแล้ว

[Lekkoksung]

ขอคิดด้วยคนน่ะครับ

ปล. คิดไม่ออกเหมือนกันครับ

[Zadoemigil]

$2(m+1)A_{n_{m+1}}-2mA_{n_m}=\dfrac{1}{2(n-m)+1}$

$(m+1)A_{n_{m+1}}-mA_{n_m}=\dfrac{1}{4(n-m)+2}$

$mA_{n_{m+1}}+A_{n_{m+1}}-mA_{n_m}=\dfrac{1}{4(n-m)+2}$

$m(A_{n_{m+1}}-A_{n_m})+A_{n_{m+1}}=\dfrac{1}{4(n-m)+2}$

$(A_{n_{m+1}}-A_{n_m})+\dfrac{1}{m}A_{n_{m+1}}=\dfrac{1}{4m(n-m)+2m}$

$(A_{n_{m+1}}-A_{n_m})=\dfrac{1}{4m(n-m)+2m}-\dfrac{1}{m}A_{n_{m+1}}$

$(A_{n_{m+1}}-A_{n_m})=\dfrac{1}{4m(n-m)+2m}-\dfrac{1}{2m(m+1)}\left(\dfrac{1}{2(n-m)+1}+\dfrac{1}{2(n-m)+3}+\cdots+\dfrac{1}{2n-1}+\dfrac{1}{2n+1}\right)$

$(A_{n_{m+1}}-A_{n_m})=\dfrac{1}{4m(n-m)+2m}-\dfrac{1}{{2m^2}+2m}\left(\dfrac{1}{2(n-m)+1}+\dfrac{1}{2(n-m)+3}+\cdots+\dfrac{1}{2n-1}+\dfrac{1}{2n+1}\right)$

$(A_{n_{m+1}}-A_{n_m})=\dfrac{1}{2m}\left(\dfrac{1}{2(n-m)+1}\right)-\dfrac{1}{{2m^2}+2m}\left(\dfrac{1}{2(n-m)+1}+\dfrac{1}{2(n-m)+3}+\cdots+\dfrac{1}{2n-1}+\dfrac{1}{2n+1}\right)$



$\dfrac{1}{2m}\left(\dfrac{1}{2(n-m)+1}\right)-\dfrac{1}{{2m^2}+2m}\left(\dfrac{1}{2(n-m)+1}+\dfrac{1}{2(n-m)+3}+\cdots+\dfrac{1}{2n-1}+\dfrac{1}{2n+1}\right)$ มากกว่า 0 ยังไงครับผมมองไม่ออกจริงๆ

[Amankris]

#10

เทียบกันตัวต่อตัวเลยครับ

ปล. แวบแรกที่เห็นนี่ตกใจเลยนะเนี่ย ดึงตัวร่วมหน่อยก็ดีนะครับ ไม่ต้องกระจายเข้าไปหมด

[Zadoemigil]

เหมือนจะออกแล้วครับ เด่วจะโพสให้ช่วยดูว่าถูกไหมนะครับ

[Zadoemigil]

$$A_{n{m+1}}-A_{nm}=\frac{1}{2m}\left(\frac{1}{2(n-m)+1}\right)-\frac{1}{m}A_{n{m+1}}$$
$$=\frac{1}{2m}\left(\frac{1}{2(n-m)+1}\right)-\frac{1}{2m(m+1)}\left(\frac{1}{2(n-m)+1}+\frac{1}{2(n-m)+3}+\cdots+\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}\right)$$
$$=\frac{1}{2m(m+1)}\left[\frac{m+1}{2(n-m)+1}-\left(\frac{1}{2(n-m)+1}+\frac{1}{2(n-m)+3}+\cdots+\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}\right)\right]$$
$$=\frac{1}{2m(m+1)}\left[\frac{m+1}{2(n-m)+1}-\left(\frac{1}{2(n-(m+1))+3}+\cdots+\frac{1}{2(n-2)+3}+\frac{1}{2(n-1)+3}\right)\right] $$
$$=\frac{1}{2m(m+1)}\left[\left(\frac{1}{2(n-m)+1}-\frac{1}{2(n-(m+1))+3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2(n-m)+1}-\frac{1}{2(n-1)+3}\right)\right] $$
$$\geq 0$$