มาทำโจทย์กันเถอะ

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

โจทย์ข้อนี้ทำมาหลายวันแล้วไม่ออก กระจายแล้วมันทอนกำลังของ $x$ ไม่ลงเหลือสั้นๆ....ตั้งหารยาวคงอีกสี่วันคงจะออก
ถ้าจำกัดแค่ความรู้ของม.ต้น ไม่ทราบว่ามีใครพอจะมองออกว่าแปลงเป็นอะไรได้บ้างถึงจะได้คำตอบ
ใช้ทฤษฎีเศษเหลือของสมการพหุนามก็ตันแค่
$p(x)=x^{50}+x^{30}+1=Q(x)(x-1)^4+ax^3+bx^2+cx+d$
ได้แค่ $a+b+c+d=3$
รบกวนขอHintหน่อยสิครับ...ไปไม่ถูก

เขาทำแบบนี้อ่ะครับ ไม่รู้ว่าอยู่ในความรู้ ม. ต้นหรือเปล่านะครับ

เพราะผม งง มากๆ

hide

$x^{50}+x^{30}+1=Q(x)(x-1)^4+ax^3+bx^2+cx+d \Rightarrow a+b+c+d=3$

$50x^{49}+30x^{29}=\dfrac{d}{dx}Q(x)(x-1)^4+3ax^2+2bx+c \Rightarrow 3a+2b+c=80$

ทำไปเรื่อยก็จะเหลือ a ตัวเดียวแล้วกลับไปแทนค่าทั้งหมด

[กิตติ]

ผมคิดออกแล้วเรื่องวิธีแต่ถึกมากๆ ถ้าทำแบบม.ต้น
สังเกตจาก $(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+..+x^2+x+1)=x^n-1$
$x^{50}+x^{30}+1=Q(x)(x-1)+3$
$Q(x)(x-1)=x^{50}+x^{30}-2=(x^{50}-1)+(x^{30}-1)$
$=(x-1)\left(\,x^{49}+x^{48}+...+x^3+x^2+x+1\right)+(x-1)\left(\,x^{29}+x^{28}+...+x^3+x^2+x+1\right) $

$Q(x)=x^{49}+x^{48}+...+x^{30}+2\left(\,x^{29}+x^{28}+...+x^3+x^2+x\right)+2 $
จากนั้นก็แปลงในชั้นที่สอง
$Q(x)=R(x)(x-1)+Remainder$
$Q(x)=\left\{\,(x^{49}-1)+(x^{48}-1)+...+(x^{30}-1)+20\right\}+2\left\{\,(x^{29}-1)+(x^{28}-1)+...+(x^3-1)+(x^2-1)+(x-1)+29\right\}+2 $
$Q(x)=(x-1)\left\{\,(x^{48}+x^{47}+...+x^2+x+1)+(x^{47}+x^{46}+...+x^2+x+1)+..+((x^{29}+x^{28}+...+x^2+x+1))\right\} $
$+2(x-1)\left\{\,(x^{28}+x^{27}+...+x^2+x+1)+(x^{27}+x^{26}+...+x^2+x+1)+...+(x^2+x+1)+(x+1)+1\right\} $
$+20+58+2$
เศษจากการหารรอบสองเท่ากับ$80(x-1)$
เศษจากการหารรอบแรกคือ $3$
ต้องกระจายลงอีกสองรอบ ผมว่าคิดไปงงไป ใช้กระดาษเยอะแน่เลย ไม่รู้ว่าคงต้องใช้การหาอนุพันธ์อย่างที่หนังสือเฉลยมั้งครับ

$R(x)=\left\{\,x^{48}+2x^{47}+3x^{46}...+19x^{30}+20(x^{29}+x^{28}+...+x^2+x+1)\right\} $
$+2\left\{\,x^{28}+2x^{27}+3x^{26}+4x^{25}+...26x^2+27x+28\right\} $
$R(x)=S(x)(x-1)+Remainder$
$R(x)=\left\{\,(x^{48}-1)+2(x^{47}-1)+3(x^{46}-1)...+19(x^{30}-1)+20((x^{29}-1)+(x^{28}-1)+...+(x^2-1)+(x-1)+1)\right\} $
$+2\left\{\,(x^{28}-1)+2(x^{27}-1)+3(x^{26}-1)+4(x^{25}-1)+...+26(x^2-1)+27(x-1)+28\right\}$
$+(1+2+3...+19)+(20\times 29)+2(1+2+3...+27)$

หารรอบสามได้เศษเท่ากับ$(1+2+3...+19)+(20\times 29)+2(1+2+3...+27)+20+28\times 2$ แล้วเอาไปคูณกับ$(x-1)^2$
$190+580+756+76=1602$
หารมาสามรอบได้เศษเท่ากับ $1602(x-1)^2+80(x-1)+3$
เหลืออีกชั้นหนึ่ง....ตาลาย

[Amankris]

หาอนุพันธ์สะดวกที่สุดแล้วครับ

โดยส่วนมากเด็กม.ต้นที่เข้าแข่งบ่อยๆ ก็หาอนุพันธ์ของพหุนามเป็นอยู่แล้ว

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

3.) สำหรับทุกจำนวนเต็ม $m>1$ แล้ว จงแสดงว่า $(m-1)^2$ หาร $m^{m-1}-1$ ลงตัว

เปลี่ยนมาพิสูจน์ว่า

$m^2$ หาร $(m+1)^{m}-1$ ลงตัว

ใช้ทฤษฎีบททวินามครั้งเดียวจบครับ

[กิตติ]

มาทำต่อจนได้คำตอบดีกว่า

$x^{50}+x^{30}+1=Q(x)(x-1)^4+ax^3+bx^2+cx+d \Rightarrow a+b+c+d=3$........(1)

$50x^{49}+30x^{29}=$ $4Q(x)(x-1)^3+Q'(x)(x-1)^4$$+3ax^2+2bx+c \Rightarrow 3a+2b+c=80$........(2)

$49\times 50x^{48}+29\times 30x^{28}=$ $12Q(x)(x-1)^2+4Q'(x)(x-1)^3+Q''(x)(x-1)^4+4Q'(x)(x-1)^3$ $+6ax+2b$

$\Rightarrow 6a+2b=49\times 50+29\times 30$..........(3)

$48\times 49\times 50x^{47}+28\times 29\times 30x^{27}= $
$12Q'(x)(x-1)^2+24Q(x)(x-1)+12Q'(x)(x-1)^2+4Q''(x)(x-1)^3+12Q'(x)(x-1)^2+4Q''(x)(x-1)^3$ $+6a$
$24Q(x)(x-1)+36Q'(x)(x-1)^2+8Q''(x)(x-1)^3$ $+6a$
$\rightarrow 6a=48\times 49\times 50+28\times 29\times 30$
$\rightarrow a=23660$

แทนค่า $a$ ใน (3)
$b=-70495$

แทนค่า $a,b$ ใน (2)
$c=70090$

แทนค่า $a,b,c$ ใน (1)
$d=-23252$

จะได้เศษคือ $23660x^3-70495x^2+70090x-23252$

แก้ไขตามที่พี่เล็กท้วง....ไม่ได้ใช้แคลมานานแล้วเลยลืมสูตร
$\dfrac{d(UV)}{dx} =U\dfrac{d(V)}{dx}+V\dfrac{d(U)}{dx}$

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

โจทย์นี้น่าจะเป็นเทคนิคพื้นฐานนะ แต่ทำให้เลยละกัน

เริ่มจาก $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$

เราก็ให้ $k=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{-x}$

สมการเปลี่ยนเป็น $k+\frac{1}{k}=\sqrt{5}$ แก้สมการได้ $k=\frac{\sqrt{5} \pm 1}{2}$

จึงได้ $x=log_{\sqrt{3}+\sqrt{2}}(\frac{\sqrt{5} \pm 1}{2})$ เป็นคำตอบ

โทษครับ เปลี่ยนโจทย์ครับ ต้องเป็น
$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{x} = (\sqrt{5})^x $

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

โทษครับ เปลี่ยนโจทย์ครับ ต้องเป็น
$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{x} = (\sqrt{5})^x $

สมการนี้ไม่มีคำตอบในระบบจำนวนจริงคับ

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

สมการนี้ไม่มีคำตอบในระบบจำนวนจริงคับ

ถูกงับ แสดงให้ดูด้วยงับ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

ถูกงับ แสดงให้ดูด้วยงับ

ใช้สัจธรรม $\sqrt{3}+\sqrt{2}>\sqrt{5}$ ครับ
จะได้ $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x>(\sqrt{5})^x$ แน่นอน สำหรับทุก x ที่เป็นบวก
ดังนั้นสมการที่ให้มา ก็ไม่มีคำตอบ สำหรับ x ที่เป็นบวก
กับสัจธรรม $\sqrt{3}-\sqrt{2}<\sqrt{5}$
จะได้ $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^x>(\sqrt{5})^x$ แน่นอน สำหรับทุก x ที่เป็นลบ
ดังนั้นสมการที่ให้มา ก็ไม่มีคำตอบ สำหรับ x ที่เป็นลบ

แทน x=0 เราก็ยังไม่พบสัจธรรม ดังนั้น สมการที่ให้มาก็ไม่มีคำตอบ อารมณ์ประมาณนี้แหล่ะ

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

มาทำต่อจนได้คำตอบดีกว่า

$x^{50}+x^{30}+1=Q(x)(x-1)^4+ax^3+bx^2+cx+d \Rightarrow a+b+c+d=3$........(1)

$50x^{49}+30x^{29}=$4Q'(x)(x-1)^3$+3ax^2+2bx+c \Rightarrow 3a+2b+c=80$........(2)

$49\times 50x^{48}+29\times 30x^{28}=$12Q''(x)(x-1)^2$+6ax+2b$
$\Rightarrow 6a+2b=49\times 50+29\times 30$..........(3)

$48\times 49\times 50x^{47}+28\times 29\times 30x^{27}=$24Q'''(x)(x-1)$+6a$

$\dfrac{d(UV)}{dx} =U\dfrac{d(V)}{dx}+V\dfrac{d(U)}{dx}$

diff ผิด แต่บังเอิญ แทนค่า $x=1$ แล้วเป็น $0$ หมด เลยฟลุ๊คถูก 555+

[กิตติ]

ขอบคุณพี่เล็กครับที่ช่วยตรวจทานความถูกต้องให้ ผมแก้ตามที่พี่ติงไว้แล้ว
พอดีซือแป๋หยินหยางส่งข้อความมาให้ตั้งแต่ 5 ส.ค.2554 พอดีเพิ่งลงก.ท.ม.ไปส่งภรรยาสอบของสภาพยาบาล ไม่ได้เอาโน๊ตบุ๊คไปด้วย เลยไม่ได้เข้ามาในmathcenter และเพิ่งเข้ามาเห็นข้อความของซือแป๋หยินหยาง ขอบคุณซือแป๋มากครับ ผมขอเอาเทคนิคที่เขียนส่งมาให้ผมดู มาแปะให้คนอื่นดูเป็นวิทยาทาน....เทคนิคนี้สั้นมากและกระชับด้วย สุดยอดครับซือแป๋

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

พอดี ผมเข้ามาอ่านกระทู้เห็นถึงความพยายามและความตั้งใจของคุณกิตติที่จะทำโจทย์ ข้อนี้
หาเศษของ $x^{50}+x^{30}+1$ หารด้วย $(x-1)^4$ ผมเสนอให้อีกวิธี แต่วิธีที่นิยมใช้และสะดวกก็คือวิธีทำโดยใช้อนุพันธ์ที่มีคนนำเสนอในกระทู้แล้ว แต่วิธีที่ผมจะนำเสนอก็ยังต้องใช้ความรู้ ม.ปลายอยู่ดี คือต้องรู้เรื่องทวินาม ถ้าเราสมมุติให้

$x-1 =u$ โจทย์จะเปลี่ยนเป็น $\frac{(u+1)^{50}+(u+1)^{30}+1}{u^4}$
$ =\frac{[u^{50}+\binom{50}{1}u^{49}+...+\binom{50}{47}u^3+\binom{50}{48}u^2+\binom{50}{49}u+1]+ [u^{30}+\binom{30}{1}u^{29}+...+\binom{30}{27}u^3+\binom{30}{28}u^2+\binom{30}{29}u+1]+1}{u^4}$
แล้วพิจารณาแค่ $u^3,u^2,u$ เท่านั้นก็พอแต่อย่าลืมว่าต้องแปลง $u$ กลับมาเป็น $x-1$ ด้วย อันที่จริงผมจำได้ว่าเคยตอบโจทย์ลักษณะนี้ไปแล้วแต่ไม่รู้อยู่ไหนเหมือนกัน

ปล.เห็นถึงความตั้งใจ อย่าบอกนะว่าจะเปลี่ยนอาชีพ

อาชีพไม่เปลี่ยนครับ เช่นเดียวกับความรักในคณิตศาสตร์แม้จะมีความรู้อย่างจำกัดก็ยังอยากแก้โจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์ต่อไป
ได้บ้างไม่ได้บ้าง ก็ขอความเมตตาจากท่านผู้รู้ทั้งหลาย ไม่จำกัดเรื่องวัย ได้หมดครับ
ขอบคุณความเมตตาของซือแป๋อีกครั้ง

[Metamorphosis]

-โจทย์เก่ายังเหลือโจทย์บางข้อที่ยังไม่ได้ทำนะครับ (ถ้าว่างๆ จะเฉลย/hint ให้)
-เพิ่มโจทย์ให้แล้วนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

1. Find all pairs of integers (x,y) such that
$x^3+y^3 = (x+y)^2$

$(x,y)=(t,-t),(0,1),(1,0),(1,2),(2,1),(2,2);t\in\mathbb{Z}$

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

3.) สำหรับทุกจำนวนเต็ม $m>1$ แล้ว จงแสดงว่า $(m-1)^2$ หาร $m^{m-1}-1$ ลงตัว

ทำแบบนี้ได้ไหม
ให้$m-1=k \rightarrow m=k+1$
$m^{m-1}-1=(k+1)^k-1$ หารด้วย $k^2$
เมื่อกระจาย$(k+1)^k$ จะได้ว่าพจน์ที่ไม่มี $k^2$ คือ $\binom{k}{1}k+1 $
$(k+1)^k-1$ กระจายแล้วพจน์ที่ไม่มี $k^2$ คือ $\binom{k}{1}k $ แต่$\binom{k}{1}=k$
$\binom{k}{1}k =k^2$
ดังนั้นจึงสรุปได้ว่าทุกจำนวนเต็ม $m>1$ แล้ว $(m-1)^2$ หาร $m^{m-1}-1$ ลงตัว
อาศัยวิธีการแทนตัวแปรตามซือแป๋หยินหยางแนะในข้อก่อน

[banker]

มานั่งดูเซียนถกกัน

(ไม่ค่อยรู้เรื่องหรอก)