จำนวนเฉพาะและกำลังสอง

[Metamorphosis]

กำหนด $p,q$ เป็นจำนวนเฉพาะ $p+q ,p+7q$ เป็นจำนวนกำลังสอง หา $pq$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

[กิตติ]

ตอบ 4 หรือเปล่าครับ

[จูกัดเหลียง]

#2 ผมก็ว่าเเบบนั้นอ่ะครับ

[Mol3ius]

เราสามารถแสดงยังไงหรอครับ ว่ามีแค่ 4 เท่านั้น

[Amankris]

#4
ลองเขียนสมการออกมานะครับ ไม่ยากเกินความสามารถ

[Metamorphosis]

ให้ $p+q = a^2 , p+7q = b^2$
$b^2-a^2 = 6q$ โดย $b>a$
$(b-a)(b+a) = 6q$ เนื่องจาก $b+a > b-a $ และ $q>0$

$b+a = 6q , b-a = 1$ จะได้ $b=\dfrac{6q+1}{2}$ ทำให้ $b \not\in \mathbb{N} $

$b+a = 3q , b-a = 2$ จะได้ $b=1+\dfrac{3q}{2}$ เนื่องจาก $q$ เป็นจำนวนเฉพาะ จะได้ $q=2$ และ $p=2$

$b+a = 2q , b-a = 3$ จะได้ $b=\dfrac{2q+3}{2}$ ทำให้ $b \not\in \mathbb{N} $

จะได้ $pq$ ที่เป็นไปได้คือ $4$ #

[Mol3ius]

เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณมากครับ

[Mol3ilE]

แล้วทำไม
b+a=q,b−a=6
ไม่ได้ล่ะครับ

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mol3ilE

แล้วทำไม
b+a=q,b−a=6
ไม่ได้ล่ะครับ

ไม่แน่ใจนะครับแต่รู้สึกว่า

มันจะได้

$2b=q+6$

$b=\frac{q+6}{2} $

$ดังนั้นจากq เป็นจำนวนเฉพาะ และ b\in \mathbb{N}
จีงได้ q=2$

$แต่ b+a > b-a$

$ได้ 2>6 เลยเป็นเท็จครับ$