ทฤษฎีจำนวน

[Metamorphosis]

ช่วยคิดข้อนี้ให้หน่อยนะครับ ...

ให้ $P(k)$ คือจำนวนเต็มคี่ที่มากที่สุดที่หาร $k$ ลงตัว จงแสดงว่า

$$\frac{2n}{3} < \sum_{i = 1}^{n} \frac{P(i)}{i} < \frac{2(n+1)}{3}$$

[nongtum]

some random hints:

For $p(n)=\cases{n\quad\quad ,n\ \text{is odd}\\ \dfrac{n}{2^k}\quad ,n\ \text{is even}}$ we have $\dfrac{p(n)}{n}=\cases{1\quad\quad ,n\ \text{is odd}\\ \dfrac{1}{2^k}\quad ,n\ \text{is even.}}$
Can you describe this $k$?

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

some random hints:

1. For $p(n)=\cases{n\quad\quad ,n\ \text{is odd}\\ \dfrac{n}{2^k}\quad ,n\ \text{is even}}$ we have $\dfrac{p(n)}{n}=\cases{\dfrac{1}{n}\quad\quad ,n\ \text{is odd}\\ \dfrac{1}{2^k}\quad ,n\ \text{is even.}}$
Can you describe this $k$?

2. The inequalities $$\frac{2}{3}n<1+\frac13+\cdots+\frac{1}{2n-1}<\frac{5n+8}{12}$$
and $$\sum_{i} \frac{p(i)}{i}<\frac{n}{4}$$where $i$ runs thorough all even numbers not exceeding $n$.

ตรง $\dfrac{p(n)}{n} = 1$ ไม่ใช่หรอครับ

[nongtum]

#3 ใช่ครับ ผมตาลายเองล่ะ