รบกวนเทพ คอมบิ

[จูกัดเหลียง]

จงหาผลบวกของตัวเลขทั้งหมดที่อยู่ในรูป $a_1\times a_2\times a_3\times ... a_{50}$ $;a_i$ $=$ สมาชิกตัวที่ $i$
เมื่อทั้ง $50$ ตัวนี้เป็นจำนวนนับที่เเตกต่างกัน ที่ไม่เกิน $101$ โดยที่ไม่มีสองตัวใดๆที่บวกกันได้ $101$ (เช่น $50$ อยู่เซตเดียวกับ $51$ ไม่ได้ เพราะ $50+51=101$)

credit : IPST CAMP 1 test

[MiNd169]

หาผลบวกไม่ได้ แต่คาดว่ามีอยู่ $2^{50}$ จำนวน ครับ

[Thgx0312555]

คาดว่าตอบ $101^{50}$ ครับ

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

คาดว่าตอบ $101^{50}$ ครับ

ช่วยแสดงวิธีคิดให้ดูหน่อยนะครับ

[Amankris]

Main Idea

คำตอบข้อนี้คือผลบวกที่เกิดจากการกระจาย $(1+100)(2+99)(3+98)\cdots(50+51)$

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

Main Idea

คำตอบข้อนี้คือผลบวกที่เกิดจากการกระจาย $(1+100)(2+99)(3+98)\cdots(50+51)$

สวยมากครับ มีวิธีดูยังไงครับ

[Amankris]

#6
ถ้าเคยเจอแล้วก็จะมองไม่ยากครับ

ถ้าไม่เคยเจอก็อาจจะต้องลองทำกรณีเลขน้อยๆดูก่อน

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

#6
ถ้าเคยเจอแล้วก็จะมองไม่ยากครับ

ถ้าไม่เคยเจอก็อาจจะต้องลองทำกรณีเลขน้อยๆดูก่อน

แล้วถ้าจะทำเป็น solution ต้องเขียนอธิบายยังไงล่ะครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

จงหาผลบวกของตัวเลขทั้งหมดที่อยู่ในรูป $a_1\times a_2\times a_3\times ... a_{50}$ $;a_i$ $$ สมาชิกตัวที่ $i$
เมื่อทั้ง $50$ ตัวนี้เป็นจำนวนนับที่เเตกต่างกัน ที่ไม่เกิน $101$ โดยที่ไม่มีสองตัวใดๆที่บวกกันได้ $101$ (เช่น $50$ อยู่เซตเดียวกับ $51$ ไม่ได้ เพราะ $50+51=101$)

credit : IPST CAMP 1 test

ถ้าคำว่า ไม่เกิน 101 หมายถึง $ \leq 101$

คำตอบข้อนี้ น่าจะเอาคำตอบของคุณ Amankris บวกกับบางเทอม เช่น 101(1+100)(2+99)...(49+52)

เมื่อบวกกันหมดแล้วควรจะได้ $51\cdot 101^{50} $

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MiNd169

แล้วถ้าจะทำเป็น solution ต้องเขียนอธิบายยังไงล่ะครับ

solution ทำแบบนี้ได้ไหมครับ

solution

สมมติ {$b_1,b_2,...,b_{50}$} = {$a_1,a_2,...,a_{50} $} เมื่อไม่มี $a_i$ ใดๆ = 101

โดย $|50-b_i| > |50-b_{i+1}|$
จะได้ $b_i = i$ หรือ $b_i = 101-i$

แต่ $b_1,b_2,...,b_{50}$ เป็นการเรียงสับเปลี่ยนของ $a_1,a_2,...,a_{50} $
จะได้ว่า ตัวเลขที่อยู่ในรูป $a_1 \times a_2 \times...\times a_{50}$ เมื่อไม่มี $a_i$ ใดๆ = 101 สามารถเขียนในรูป $b_1 \times b_2 \times...\times b_{50}$ ได้

หาผลรวมของกรณีไม่มี $a_i$ ใดๆ = 101
ผลรวม $b_1 \times b_2 \times...\times b_{50} = (1+100)(2+99)...(50+51) = 101^{50}$

กรณี ที่ $\exists i[a_i = 101]$

จะได้ว่า ผลบวก $a_1 \times a_2 \times...\times a_{50} =$ ผลบวก $101 \times \frac{b_1 \times b_2 \times...\times b_{50}}{b_j} = 101 \times 101^{49} = 101^{50}$

มีวิธีเลือก j 50 วิธี

ผลรวมกรณีทั้งหมด $ = 101^{50}+50\times101^{50} = 51\times 101^{50}$