สอนหน่อยน้าคะ โจทย์ข้อสอบทั่วไปน่ะค่ะ ใช้เวลาสอบเข้า

[lookket]

:please:‎1. จงหาเศษที่เกิดจากการหาร 3^10 ด้วย 51
2. จงหาเลขโดด 2 หลักสุดท้ายของ 3^4000
3. จงหาเศษที่เกิดจากการหาร 15! ด้วย 17


ก และ ข อยู่ห่างกัน 9/4 km ออกเดินทางพร้อมกันและไปทางเดียวกัน ถ้า ก เดินทางด้วยอัตราเร็ว 13/4 km/hr และ ข เดินทางด้วยอัตราเร็ว 4 km/hr แล้วคนทั้งสองเดินทันกันพอดี ในเวลากี่ชั่วโมง


จำนวนเต็มบวก n ตัวมากสุด ที่ทำให้ 10^n เป็นตัวหารของ [2009! หาร 998!] + [2009 !หาร 999!]

[วะฮ่ะฮ่า03]

1.$3^{10}=59049$ หาร 51 เศษ42

2.$3^{4000}$หาร $100 $: จาก $3^{40}\equiv 1 mod 100$ ดังนั้น $3^{4000}\equiv 1mod100$
100 หาร $3^{4000}-1$ $\therefore $เศษ 2

3.15!=15x14x13x..x3x2x1
$15x14\equiv (-2)(-3)\equiv 6 mod 17$
$13x12\equiv (-4)(-5)\equiv 3 mod 17$
$11x10\equiv (-6)(-7)\equiv 8 mod 17$
$9x8$ $\equiv (-8)(-9)\equiv 4 mod 17$
$15x14x13x12x11x10x9x8\equiv 6x3x8x4\equiv 15 mod 17$
$7x6x5x4x3x2\equiv 8 mod 17$
$\therefore $ $15!\equiv 8x15\equiv $1 mod 17$ \Rightarrow $เศษ17-1=16

4.$ความเร็วสัมพัทธ์=4-\frac{13}{4} =\frac{3}{4} $จาก $t=\frac{s}{v}$
=$\frac{\frac{9}{4} }{\frac{3}{4} } =3 hr$

5.
$\frac{2009!}{998!} +\frac{2009!}{999!} $
$;2009! : Floor \frac{2009}{1000} +\frac{2009}{100} +\frac{2009}{10} =222$
$;998! : Floor \frac{998}{1000} +\frac{998}{100} +\frac{998}{10} =108$
$;999! : Floor \frac{999}{1000} +\frac{999}{100} +\frac{999}{10} =108$

$\frac{2009!}{998!} :10^{222-108}=10^{114}$
$\frac{2009!}{999!} :10^{222-108}=10^{114}$
รวมกันได้ $2(10^{114})$ จึงได้ n=114

[IloveMathPK]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ วะฮ่ะฮ่า03

1.$3^{10}=59049$ หาร 51 เศษ42

2.$3^{4000}$หาร $100 $: จาก $3^{40}\equiv 1 mod 100$ ดังนั้น $3^{4000}\equiv 1mod100$
100 หาร $3^{4000}-1$ $\therefore $เศษ 2

3.15!=15x14x13x..x3x2x1
$15x14\equiv (-2)(-3)\equiv 6 mod 17$
$13x12\equiv (-4)(-5)\equiv 3 mod 17$
$11x10\equiv (-6)(-7)\equiv 8 mod 17$
$9x8$ $\equiv (-8)(-9)\equiv 4 mod 17$
$15x14x13x12x11x10x9x8\equiv 6x3x8x4\equiv 15 mod 17$
$7x6x5x4x3x2\equiv 8 mod 17$
$\therefore $ $15!\equiv 8x15\equiv $1 mod 17$ \Rightarrow $เศษ17-1=16

4.$ความเร็วสัมพัทธ์=4-\frac{13}{4} =\frac{3}{4} $จาก $t=\frac{s}{v}$
=$\frac{\frac{9}{4} }{\frac{3}{4} } =3 hr$

5.
$\frac{2009!}{998!} +\frac{2009!}{999!} $
$;2009! : Floor \frac{2009}{1000} +\frac{2009}{100} +\frac{2009}{10} =222$
$;998! : Floor \frac{998}{1000} +\frac{998}{100} +\frac{998}{10} =108$
$;999! : Floor \frac{999}{1000} +\frac{999}{100} +\frac{999}{10} =108$

$\frac{2009!}{998!} :10^{222-108}=10^{114}$
$\frac{2009!}{999!} :10^{222-108}=10^{114}$
รวมกันได้ $2(10^{114})$ จึงได้ n=114

อย่างข้อ1นี่อะครับ ถ้าเวลาสอบมีน้อยควรทำไงกับ $3^{10}$ หรอครับ

[Ulqiorra Sillfer]

หาเศษจากการหารด้วย $3^5$ แล้วยกกำลังสองอีกที แล้วนำไปหาร 51 ผมว่าน่าสจะเร็วสุดแล้วนะ

[วะฮ่ะฮ่า03]

$3^5=243\equiv 39 mod 51$
$(3^5)^2\equiv 3^{10}\equiv 42 mod 51$

[lookket]

ช่วยสอนที่มันง่ายๆ หน่อยได้ป่าวคะ ไม่ใช้ mod น่ะค่ะ หนูไม่เข้าใจน้าคะ ช่วยอธิบายน่ะค่ะ ขอบคุณน้าคะ

[poper]

แบบนี้พอไหวมั้ยครับ
$\frac{3^{10}}{51}=\frac{3^{10}}{3\times17}=\frac{3^9}{17}$
$ 3^3=17+10$
$3^9=(17+10)^3=17^3+3\cdot17^2\cdot10+3\cdot17\cdot10^2+10^3$
$\frac{3^9}{17}=(17^2+3\cdot17\cdot10+3\cdot10^2)+\frac{10^3}{17}=A+\frac{10^3}{17}$
$\frac{10^3}{17}=\frac{1000}{17}=58+\frac{14}{17}$
$\therefore \frac{3^{10}}{51}=(A+58)+\frac{14}{17}=(A+58)+\frac{42}{51}$
ดังนั้น $3^{10}$ หารด้วย $51$ เหลือเศษ $42$

ถ้าไม่เข้าใจ mod ใช้วิธีนี้กับอีก 2 ข้อที่เหลือก็ได้ครับ แต่ต้องขยันหน่อย

คำตอบ

$2. ตอบ 01$
$3. ตอบ 1$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ วะฮ่ะฮ่า03

2.$3^{4000}$หาร $100 $: จาก $3^{40}\equiv 1 mod 100$ ดังนั้น $3^{4000}\equiv 1mod100$
100 หาร $3^{4000}-1$ $\therefore $เศษ 2

3.15!=15x14x13x..x3x2x1
$15x14\equiv (-2)(-3)\equiv 6 mod 17$
$13x12\equiv (-4)(-5)\equiv 3 mod 17$
$11x10\equiv (-6)(-7)\equiv 8 mod 17$
$9x8$ $\equiv (-8)(-9)\equiv 4 mod 17$
$15x14x13x12x11x10x9x8\equiv 6x3x8x4\equiv 15 mod 17$
$7x6x5x4x3x2\equiv 8 mod 17$
$\therefore $ $15!\equiv 8x15\equiv $1 mod 17$ \Rightarrow $เศษ17-1=16

ทำไมต้องเอามาลบด้วยละครับ
$a\equiv b(modp)$ ความหมายก็คือ $a$ หารด้วย $p$ เหลือเศษ $b$ อยู่แล้วไม่ใช่เหรอครับ

[lookket]

ขอบคุณมากๆ ค่ะ

[วะฮ่ะฮ่า03]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ทำไมต้องเอามาลบด้วยละครับ
$a\equiv b(modp)$ ความหมายก็คือ $a$ หารด้วย $p$ เหลือเศษ $b$ อยู่แล้วไม่ใช่เหรอครับ

อ่อใช่ครับ ลืมไปสับสนกับเครื่องหมาย$ \equiv $