Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 07 มีนาคม 2012, 01:05
polsk133's Avatar
polsk133 polsk133 is online now
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 1,773
polsk133 is on a distinguished road
Default มาร่วมเฉลยข้อสอบ สอวน.ค่าย1-2

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?p=169999#post169999
ค่าย2มีนาปี2557 http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=20651
ค่าย1ตุลาปี2556 http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=20064 ค่าย3เมษาปี2556 http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=18972
ค่าย2มีนาปี2556 http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=18902
ค่าย1ตุลาปี2555 http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=17530















ปล.รบกวน โพสเลขข้อ ชื่อวิชา ปีที่ ค่ายที่

เป็นไฟล์ภาพ http://www.mediafire.com/?pdy2v7895gfkqoc

ใครมีข้อสอบค่าย เมษา ขอหน่อยนะครับ

22 เมษายน 2014 01:38 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 35 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ polsk133
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 07 มีนาคม 2012, 07:15
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,049
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

"ค่าย 1 ปี 2549"
อ้างอิง:
1.ก.$a,b\ge 0$ Prove $$a^3(b+1)+b^3(a+1)\ge a^2(b+b^2)+b^2(a+a^2)$$
$a^3+b^3\ge ab(a+b)\leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\ge 0$
$a^3b+b^3a\ge 2a^2b^2\leftrightarrow ab(a-b)^2\ge 0$
อ้างอิง:
1.ข.$ a,b,c>0,S=\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1},a+b+c=1$ find max$S$
Cauchy's $$\sum_{cyc} \sqrt{3a+1}\le\sqrt{3}{3(a+b+c)+3}=3\sqrt{2}$$
สมการเกิดเมื่อ $a=b=c=1/3$
อ้างอิง:
2.ก.$a,b,c,d>0 ,a+b+c+d=1$ Prove $$\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge \frac{1}{2}$$
Cauchy's $$\sum_{cyc} \frac{a^2}{a+b}\ge \frac{(a+b+c+d)^2}{2(a+b+c+d)}=\frac{1}{2}$$
อ้างอิง:
2.ข.$a,b,c>0$ $abc=1$ Prove $$\Big(1+\frac{a}{b}\Big)\Big(1+\frac{b}{c}\Big)\Big(1+\frac{c}{a}\Big)\ge 2(1+a+b+c)$$
$$\Big(1+\frac{a}{b}\Big)\Big(1+\frac{b}{c}\Big)\Big(1+\frac{c}{a}\Big)=(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-1$$
จึงเหลือพิสูจน์ว่า $(a+b+c)(ab+bc+ca)-1\ge 2+2(a+b+c)\leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca-2)\ge 3$
เเละ $a+b+c\ge 3abc=3$
$ab+bc+ca\ge 3\sqrt{a^2b^2c^2}=3\leftrightarrow ab+bc+ca-2\ge 1$
อ้างอิง:
4.$a,b,c,d>0$ Prove $$\frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}+\frac{b^3+c^3+d^3}{b+c+d}+\frac{c^3+d^3+a^3}{c+d+a}+\frac{d^3+a^3+b^3}{d+a+b}\ge \frac{1}{4}(a+b+c+d)^2$$
Cauchy's $$\sum_{cyc} \Big(\frac{a^4}{a^2+ab+ac}+\frac{b^4}{ab+b^2+bc}+\frac{c^4}{ac+bc+c^2}\Big)\ge \sum_{cyc} \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a+b+c)^2}\ge \frac{1}{3}\sum_{cyc} (a^2+b^2+c^2)$$
ซึ่ง $a^2+b^2+c^2+d^2\ge \frac{1}{4}(a+b+c+d)^2$ ทำให้อสมการเป็นจริงเมื่อ $a=b=c=d$
__________________
Where is a will there is a way
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 07 มีนาคม 2012, 08:46
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,049
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

ค่าย 2 2549 อสมการ
อ้างอิง:
ข้อ 3.$x_i>0$ and $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}=n$
find min $$x_1+\frac{x_2^2}{2}+\frac{x_3^3}{3}+...+\frac{x_n^n}{n}$$
we know $x_1x_2...x_n\ge 1$ from condition
Use Weight AM.-GM. $$x_1+\frac{x_2^2}{2}+\frac{x_3^3}{3}+...+\frac{x_n^n}{n}\ge \Big(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\Big)\sqrt[1+1/2+1/3+...+1/n]{x_1x_2...x_n}\ge 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$$
อ้างอิง:
ข้อ 4. ให้ $a,b,c>0$ จงเเสดงว่า $$\frac{4ab}{a+b+2c}+\frac{4bc}{b+c+2a}+\frac{4ca}{c+a+2b}\le a+b+c$$
โดย Homogeneous assume $abc=1$ เเละ $a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}=3$
จึงเหลือเเค่พิสูจน์ว่า $$\frac{1}{a(3+a)}+\frac{1}{b(3+b)}+\frac{1}{c(3+c)}\le \frac{a+b+c}{4}$$
ให้ $f(x)=4/x(3+x)$ เป็นฟังก์ชัน(concaveด้วย) ดังนั้น $$\sum_{cyc} f(x)=\sum_{cyc} \frac{1}{a(3+a)}\le 3f\Big(\frac{x+y+z}{3}\Big)=\frac{27}{a+b+c+(9+a+b+c)}\le \frac{a+b+c}{4}$$
อ้างอิง:
6.$a,b,c,x,y,z>0$ Prove $$\frac{a^3}{x}+\frac{b^3}{y}+\frac{c^3}{z}\ge \frac{(a+b+c)^3}{3(x+y+z)}$$
Holder $$\Big(\frac{a^3}{x}+\frac{b^3}{y}+\frac{c^3}{z}\Big)(x+y+z)(1+1+1)\ge (a+b+c)^3$$
__________________
Where is a will there is a way

07 มีนาคม 2012 09:01 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 07 มีนาคม 2012, 09:03
BLACK-Dragon's Avatar
BLACK-Dragon BLACK-Dragon ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 04 พฤศจิกายน 2010
ข้อความ: 719
BLACK-Dragon is on a distinguished road
Default

ข้อ 4 ลองมอง

$\dfrac{4}{a+c+b+c} \leq \dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{b+c}$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 07 มีนาคม 2012, 12:27
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,049
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

#4ยังไงเหรอครับ
อ้างอิง:
2.$a,b,c>0$ Prove $$abc[\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}]\le 1$$
Homogeneuos assume that $abc=1$ เหลือพิสูจน์ว่า $$\frac{a^3+b^3}{a^3+b^3+1}+\frac{b^3+c^3}{b^3+c^3+1}+\frac{c^3+a^3}{c^3+a^3+1}\ge 2$$
เเต่ $$\frac{a^3+b^3}{a^3+b^3+1}\ge \frac{a+b}{a+b+c}\leftrightarrow (a^3+b^3)(a+b+c)\ge (a+b)(a^3+b^3+1)\leftrightarrow (a\sqrt{c}-b\sqrt{c})^2\ge 0$$
__________________
Where is a will there is a way
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 07 มีนาคม 2012, 12:34
polsk133's Avatar
polsk133 polsk133 is online now
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 1,773
polsk133 is on a distinguished road
Default

Homogeneuos assume that abc=1 คืออะไรหรอครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 07 มีนาคม 2012, 12:43
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,049
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

ก็อสมการมัน Homogeneuos อ่ะครับ(เห็นฝรั่งเค้าเรียกอย่างนี้ครับ 555) เราเลยสมมุติให้ $abc=1,a+b+c=3,a^2+b^2+c^2=3$ เเล้วเเต่จะเลือกเลยครับ
โดยมีเงื่อนไขว่า เวลาเเทน $a$ ให้เป็น $k$ เท่าเเล้วอสมการไม่เปลี่ยนเเปลงครับ
อ้างอิง:
NT ข้อ 3. ค่าย 2,2548 จงหา $r$ ที่น้อยที่สุดที่ $$2^{100}+100!\equiv r\pmod {4080}$$
พิจารณาจากที่ $$r\equiv 2^{100}+100!\equiv 1\pmod 5$$
$$r\equiv 2^{100}+100!\equiv 0\pmod {16}$$
$$t\equiv 2^{100}+100!\equiv 1\pmod {41}$$
เพิ่งเรียน CRT มาจาก น้อง Black-Dragon ครับ 555 ได้ว่า $r=2416$ ( not sure )
__________________
Where is a will there is a way

07 มีนาคม 2012 12:53 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 07 มีนาคม 2012, 16:18
BLACK-Dragon's Avatar
BLACK-Dragon BLACK-Dragon ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 04 พฤศจิกายน 2010
ข้อความ: 719
BLACK-Dragon is on a distinguished road
Default

#5

$\dfrac{4ab}{a+c+b+c} \leq \dfrac{ab}{c+a}+\dfrac{ab}{b+c}$

$\displaystyle \sum_{cyc} \dfrac{4ab}{a+b+2c} \leq a+b+c$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 07 มีนาคม 2012, 17:29
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,049
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

Combi 2554 ช่วยเช็คทีครับ ผมไม่ค่อยมั่นใจ
1.$31^2$
2.$5\times 10!$
3.$\binom {36}{3}-\binom {22}{3}$

Combi 2549 ค่าย 1
1.ก.$2^n-1$
ข.$$\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{1}\binom{n}{2}...\binom{n-k}{1}$$
ค.$$\binom{n}{1}\sum_{k=2}^n\binom{n}{k}+\binom{n}{2}\sum_{k=3}^n\binom{n}{k}+...+\binom{n}{n-1}\binom{n}{n}$$
2.$3!\binom{6}{2}$
3.$\binom{19}{3}$
ปล.#8 สวยดีครับ
__________________
Where is a will there is a way

07 มีนาคม 2012 17:45 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 07 มีนาคม 2012, 17:39
polsk133's Avatar
polsk133 polsk133 is online now
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 1,773
polsk133 is on a distinguished road
Default

คอมบิข้อ1 ปี 2544 จาก
$(10^{40},20^{30})=5^{30}2^{40}$

ได้ 31x41 ตัวอะครับ

ข้อ 2

วางเลข 1 ก่อนได้ 1 วิธี

วาง 0 ได้ 11x10x9x8x7 แต่ มันเหมือนกันเลยต้องหารด้วย 5! ได้$\binom{11}{5} $

07 มีนาคม 2012 17:42 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ polsk133
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #11  
Old 07 มีนาคม 2012, 18:44
BLACK-Dragon's Avatar
BLACK-Dragon BLACK-Dragon ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 04 พฤศจิกายน 2010
ข้อความ: 719
BLACK-Dragon is on a distinguished road
Default

ข้อ 3 เรขาคณิตค่าย 2

ใครได้ว่ามันแบ่งครึ่งบ้างครับ ผมได้มันแบ่งครึ่งหมดเลย
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #12  
Old 07 มีนาคม 2012, 18:54
polsk133's Avatar
polsk133 polsk133 is online now
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 1,773
polsk133 is on a distinguished road
Default

เพิ่ม ค่าย1,2554




ค่าย2,2554




ค่าย1,2553 แล้วนะครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #13  
Old 07 มีนาคม 2012, 19:15
BLACK-Dragon's Avatar
BLACK-Dragon BLACK-Dragon ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 04 พฤศจิกายน 2010
ข้อความ: 719
BLACK-Dragon is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133 View Post
เพิ่ม ค่าย1,2554




ค่าย2,2554




ค่าย1,2553 แล้วนะครับ
ขอบคุณมากๆครับ

เขาแจกกลับหรอครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #14  
Old 07 มีนาคม 2012, 19:43
polsk133's Avatar
polsk133 polsk133 is online now
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 1,773
polsk133 is on a distinguished road
Default

สอบเสร็จก็เอาออกมาได้หมดเลยครับ ส่วนของปีเก่าๆต้องซื้อเอาครับ

(ผมเข้าปีนี้ปีแรกเอง)
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #15  
Old 07 มีนาคม 2012, 21:28
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,049
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

ขี้เกียจเรียงข้อเเล้วครับ 555
อ้างอิง:
1.$p\not=q\in \mathbb{P}$ Prove $2^{pq}\not\equiv 1\pmod p$
assume $2^{pq}\equiv 1 \pmod p\rightarrow 2^{pq} \equiv 1 \pmod p$
$(p,q)=1$ by FLT then $2^{q-1}\equiv 1\pmod p\rightarrow 2^pq\equiv 2^p\equiv 2\pmod p$ then contradiction
อ้างอิง:
2.$n\in\mathbb{N}$ หาเศษจากการหาร $\sum_{i=0}^{100} (n+i)^{101}+2^{2^{2553}}+2(98)!$ ด้วย $101$
ข้อนี้ผมได้ว่าลงตัวอ่ะ
จาก $f(x^p)\equiv f(x)^p\pmod p$ ให้ $f(n)=n+i$
ดังนั้น $$\sum_{i=0}^{100} (n+i)^{101}\equiv \sum_{i=0}^{100}( n^{101}+i)\equiv 0\pmod 101$$
เเละ $2^{2^{2553}}\equiv 1\pmod {101}$ กับ $2(p-3)!\equiv -1\pmod {p}\rightarrow 2(98)!\equiv -1\pmod p$
อ้างอิง:
3.$n_1,n_2n_3\in\mathbb{N}$ and $a_1,a_2,a_3\in\mathbb{Z}$ Prove
$x\equiv a_1\pmod {n_1}$
$x\equiv a_2\pmod {n_2}$
$x\equiv a_3\pmod {n_3}$
มีคำตอบห็ต่อเมื่อ $(n_i,n_j)|(a_i-a_j)$ สำหรับ $i=1,2,3$
assume สมภาค ได้ว่า $n_1k_1=x-a_1$ $n_2k_2=x-a_2$
ลบกันจะได้ว่า $n_1(-k_1)+n_2(k_2)=a_1-a_2$ ดังนั้น $d|{n_1(-k_1)+n_2(k_2)=a_1-a_2}$
assume $(n_i,n_j)|(a_i-a_j)$ โดยทฤษฎีที่ว่า $ax\equiv b\pmod m$ มีคำตอบ เมื่อ $(a,m)|b$
อ้างอิง:
4.จงหา $(3^{n!+2}-3,3^{n!+2}-3)$
จาก $(a^m-1,a^n-1)=a^{(m,n)}-1$
เห็นได้ชัดว่า $3|d$ เเละ $(n!+1,(n+1)!+1)=1$ $\therefore (3^{n!+2}-3,3^{n!+2}-3)=(3^{1}-1)3=6$
อ้างอิง:
5.$p\in\mathbb{P}$ จงหา $p$ ที่ทำให้ $5^p+4p^4=k^2$ สำหรับบางค่า $k\in\mathbb{I}$
ข้อนี้ผมได้ว่ามันไม่มีอ่ะครับ - -


ปล.ขนาดค่ายเเรกก็เก่งขนาดนี้เเล้วครับ ผมเข้ามาครั้งที่ 2 เเล้วยังไม่เก่งเลย
__________________
Where is a will there is a way
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 20:49


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2014, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha