เพื่อนผมฝากมาถามครับ พหุนาม&ทฤษฏีจำนวน(มั๊ง)

[tonklaZolo]

จงหาจำนวนเต็มบวก $x$ ทั้งหมดที่ทำให้ $x^4+6x^3+11x^2+3x+31$ เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์

[BLACK-Dragon]

สรุปมัน n หรือ x ครับ ถ้าเป็น n เหมือนกันหมดก็น่าจะได้อยู่

Click

$n^4+6n^3+11n^2+3n+31= (n)(n+1)(n+2)(n+3)-3n+31$

จากตรงนี้เราสามารถเห็นได้ชัดว่า n ต้องหาร 4 แล้วเหลือเศษ 1 หรือ 2 เท่านั้น

$n(n+1)(n+2)(n+3) = (n^2+3n+1)^2-3(n-10)$

$\therefore n \leq 10$ (ลองใช้สมการที่ได้มาคิดดูว่าเพราะอะไร เมื่อ $n>10$ จะเกิดอะไร)

ลองแทน 1,2,5,6,9,10

$\therefore n= 10$

[จูกัดเหลียง]

ไม่เข้าใจอ่ะครับว่าทำไม $n\equiv 1,2 \pmod 4$ อ่ะครับเเล้วก็ $n>10$ มันทำไมเหรอครับ

[~ArT_Ty~]

ผมก็ได้นะครับว่า $n=10$ อ่ะครับ แต่ไม่แน่ใจว่ามีตัวอื่นอีกมั้ยอ่ะครับ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ไม่เข้าใจอ่ะครับว่าทำไม $n\equiv 1,2 \pmod 4$ อ่ะครับเเล้วก็ $n>10$ มันทำไมเหรอครับ

ก็ $x^2 \equiv 0 , 1 \pmod {4}$ ครับ

ถ้า n>10

$n^4+6n^3+11n^2+3n+31 < (n^2+3n+1)^2$

แต่เพราะ LHS. เป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้ว่า

$n^4+6n^3+11n^2+3n+31 \leq (n^2+3n)^2$

เกิดข้อขัดแย้ง

[artty60]

เยี่ยมครับคุณมังกรดำ

แต่ว่าไม่น่าจะเกี่ยวกับ $n\equiv 1,2 \,\,\, (mod4)$ เลยครับ