Dedekind gap อ่านแล้วไม่เ้ข้าใจ

[BGT]

Let S and T are nonempty sets of real numbers.
Prove that TFAQ
(i) there is exactly one real number $c$ such that $s \leqslant c \leqslant t$ for all $s \in S,t \in T$
(ii) sup $S$ = inf $T$
(iii) For each $\varepsilon >0$ there are $s \in S$ and $t in T$ such that $t-s < \varepsilon$

proof
คำถาม 1

$(i)\rightarrow (ii)$ ให้ (i) เป็นจริง c จะต้องเป็น sup ของ S ในขณะเดียวกัน c จะต้องเป็น inf T และ c มีเพียงค่าเดียวทำให้ได้ว่า $sup S = inf T$
ถูกไหม

$(ii)\rightarrow%(iii)$ อันนี้เข้าใจ

$(iii)\rightarrow (ii) $ หนังสือเขียนไว้ว่า $ 0\leqslant infT - sup S \leqslant t-s < \varepsilon$
ทำไมถึงสรุปได้ว่า $sup S = inf T$

[nooonuii]

$(i)\rightarrow (ii)$ ให้ (i) เป็นจริง c จะต้องเป็น sup ของ S ในขณะเดียวกัน c จะต้องเป็น inf T และ c มีเพียงค่าเดียวทำให้ได้ว่า $sup S = inf T$
ถูกไหม

ได้แค่ว่า $\sup S\leq c\leq \inf T$ ก่อนตามสมบัติของ $\sup$ และ $\inf$

แต่ $s\leq \sup S\leq t$ จะได้ว่า $\sup S=c$ ในทำนองเดียวกัน $\inf T=c$

$(iii)\rightarrow (ii) $ หนังสือเขียนไว้ว่า $ 0\leqslant infT - sup S \leqslant t-s < \varepsilon$
ทำไมถึงสรุปได้ว่า $sup S = inf T$

$ 0\leq \inf T - \sup S < \epsilon$ ทุก $\epsilon>0$

สมมติว่า $x=\inf T-\sup T>0$ ให้ $\epsilon=\dfrac{x}{2}>0$ จะเห็นว่า

$0\leq x<\dfrac{x}{2}$

$\dfrac{x}{2}<0$ ซึ่งขัดแย้ง

[BGT]

เราจะรู้ได้ไงว่าเราพิสูจน์ถูกต้อง
ขอต่อในกระทู้นี้นะครับ
ข้อที่ 2

Suppose that A is nonempty set of real numbers that is both bounded above and bounded below, and infA = supA. Prove that A consists of exactly one number.

Proof. Since $inf A = sup A = c$ thus for all $x\in A$, $c\leqslant x \leqslant c$.
Hence $x = c$ therefor A has exactly one element.

ข้อที่ 3
Prove that a set A of real number has a maximum iff it is bounded above and sup A belongs to A.
ข้อนี้ไปไม่ถูกเลยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BGT

ข้อที่ 3
Prove that a set A of real number has a maximum iff it is bounded above and sup A belongs to A.
ข้อนี้ไปไม่ถูกเลยครับ

ลองไล่นิยามของ $\max$ แล้วเปรียบเทียบกับ $\sup$ ก็น่าจะออกแล้วครับ เพราะสองอย่างนี้คล้ายกันมาก

[BGT]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BGT

ข้อที่ 3
Prove that a set A of real number has a maximum iff it is bounded above and sup A belongs to A.

Assume that m is a maximum element of A . For all $x\in A, x\leqslant m$ then A is bounded above. Suppose that sup A is not in A we see that $x\leqslant m<sup A$. Wtcd
Conversely, assume that $ sup A = c \in A$. For all $x \in A, x\leqslant sup A$ therefor A is the maximum element of A.
ขอบคุณครับ
เหลืออีกหนึ่งข้อสำหรับแบบฝึกหัด completenees axiom

[kongp]

ผมคิดว่าเรื่องนี้มาจากพื้นฐานของการแก้อสมการ ที่มีการแบ่งช่วงหาคำตอบ แต่ขอติตรงคณิตศาสตร์แบบนี้ พิสูจน์แนววิทยาศาสตร์ไม่ได้ นอกจากการให้เหตุผลข้างๆ คูๆ เช่น การหาข้อขัดแย้ง