คณิต ม. ปลาย ยากจัง

[polycarbonate]

1. ถ้าผลบวกของอนุกรมเลขคณิตตั้งแต่พจน์ที่ 1-11 มีค่า 77 และผลบวกของกำลังสองของพจน์ที่ 4,5,6,7,8 มีค่า 285 แล้ว ข้อใดไม่ถูกต้อง
ก. มีพจน์ที่ 10 คือ -1 ข. ผลบวก 3 พจน์แรกคือ -3 ค. ผลต่างร่วมคือ 2,-2 ง.พจน์แรกของอนุกรมคือ 3


2. จงหาผลบวกอนันต์ของอนุกรม
$\frac{1}{1x2x3x4}$ + $\frac{1}{2x3x4x5}$ + $\frac{1}{3x4x5x6}$ + ...+ $\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}$ + ...

3. $$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{k^n} = \frac{1}{k} + \frac{2}{k^2} + \frac{3}{k^3} + ...$$ มีค่าเท่าใด

4. จงหาว่า $$\sum_{n=0}^\infty \frac{(3^n) -(2^n) }{6^n}$$ มีค่าเท่าใด

ผมเป็นสมาชิกใหม่ครับ ก็ต้องขอความช่วยเหลือด้วยครับ ทำไม่ได้จริงๆครับ

[coke]

วิธีผมนะครับ(อาจจะแย่หน่อยๆ)
1.ให้แต่ละพจน์อยู่ในรูป a+nx เมื่อn คือพจน์ที่n จากโจทย์จะได้ 11a+66x=77 และ $5a^2+60ax+190x^2$=285แล้วแก้สมการได้a=-5,$x^2$=4
2.พิจารณา $\frac{1}{1x2x3x4}$=($\frac{1}{1x2x3}-\frac{1}{2x3x4}$)/3
3.เอาก้อนที่ต้องการหาเช่ากับxแล้วคูณด้วยkแล้วเอาสมการที่ได้ลบกับสมการแรกแล้วทําแบบเดิมซํ้าอีกรอบ
4.แยกเศษส่วนเป็น$\frac{1}{2^n}$-$\frac{1}{3^n}$แล้วทําคล้ายๆข้อ3

[polycarbonate]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แฟร์

1. ถ้าผลบวกของอนุกรมเลขคณิตตั้งแต่พจน์ที่ 1-11 มีค่า 77 และผลบวกของกำลังสองของพจน์ที่ 4,5,6,7,8 มีค่า 285 แล้ว ข้อใดไม่ถูกต้อง
ก. มีพจน์ที่ 10 คือ -1 ข. ผลบวก 3 พจน์แรกคือ -3 ค. ผลต่างร่วมคือ 2,-2 ง.พจน์แรกของอนุกรมคือ 3

ตอบ ง. ไม่ถูกต้อง
มีพจน์ที่ 10 คือ -1 หรือ 15
ผลบวก 3 พจน์แรกคือ 45 หรือ -3
ผลต่างร่วมคือ 2,-2
พจน์แรกของอนุกรมคือ 17 หรือ -3

ทำยังไงครับ รบกวนด้วยครับ มองไม่ออก

[wee]

ข้อที่ 1 ผมหาเฉพาะส่วนของค่า d , พจน์ที่1 และ พจน์ทั่วไป ที่เหลือคงทำต่อเองได้นะครับ
เพราะแค่แทนค่าตามสูตรที่เรียนมา ก็ได้แล้ว

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polycarbonate

2. จงหาผลบวกอนันต์ของอนุกรม
$\frac{1}{1x2x3x4}$ + $\frac{1}{2x3x4x5}$ + $\frac{1}{3x4x5x6}$ + ...+ $\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}$ + ...

อย่างที่คุณ coke แนะนำครับ

$\frac{1}{1\times 2\times 3\times 4} =\frac{1}{3}( \frac{1}{1\times 2\times 3} - \frac{1}{2\times 3\times 4})$

$\frac{1}{2\times3\times4\times5} = \frac{1}{3}(\frac{1}{2\times3\times4} - \frac{1}{3\times4\times5})$
.
.
.
$\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)} = \frac{1}{3}(\frac{1}{n(n+1)(n+2)}- \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)})$

ดังนั้น

$\frac{1}{1\times2\times3\times4}$ + $\frac{1}{2\times3\times4\times5}$ + $\frac{1}{3\times4\times5\times6}$ + ...+ $\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}$

= $ \frac{1}{3}( \frac{1}{1\times 2\times 3} - \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)})$

= $ \frac{1}{18} - \frac{1}{3(n+1)(n+2)(n+3)}$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polycarbonate

4. จงหาว่า $\sum_{n=0}^\infty \frac{(3^n) -(2^n) }{6^n}$ มีค่าเท่าใด

$\frac{(3^n) -(2^n) }{6^n} = \frac{3^n}{3^n \cdot 2^n} - \frac{2^n}{3^n \cdot 2^n} = \frac{1}{2^n} - \frac{1}{3^n} $

$\sum_{n=0}^\infty \frac{(3^n) -(2^n) }{6^n} = (\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + ... +\frac{1}{2^n}) - (\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + ... +\frac{1}{3^n})$

ให้ $ \ \ p = \frac{1}{2}+\frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + ... +\frac{1}{2^n} $ ....(1)

$2p = 1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + ... +\frac{1}{2^{(n-1)}}$ ...(2)

(2) - (1) $ \ \ \ p =1 - \frac{1}{2^n}$

ให้ $ \ q = \frac{1}{3}+\frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + ... +\frac{1}{3^n} $

$ 2q = 1 - \frac{1}{3^n}$

$ q = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^n}$

$ p - q = (1 - \frac{1}{2^n}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^n}) = \frac{1}{2}+ \frac{1}{2 \cdot 3^n} - \frac{1}{2^n}$

แปลกๆยังไงชอบกล

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polycarbonate

3. $$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{k^n} = \frac{1}{k} + \frac{2}{k^2} + \frac{3}{k^3} + ...$$ มีค่าเท่าใด

$m = \frac{1}{k} + \frac{2}{k^2} + \frac{3}{k^3} + ...\frac{n}{k^n} $ ...(1)

$km = 1 + \frac{2}{k} + \frac{3}{k^2} + ...\frac{n}{k^{(n-1})} $ ...(2)

(2) - (1) $ \ \ km-m = 1 + \frac{1}{k} + \frac{1}{k^2} + \frac{1}{k^3} + ...+ \frac{1}{k^{(n-1)}} - \frac{n}{k^n}$

$ m(k-1) = 1 -\frac{n}{k^n} + (\frac{1}{k} + \frac{1}{k^2} + \frac{1}{k^3} + ...+ \frac{1}{k^{(n-1)}})$

$(\frac{1}{k} + \frac{1}{k^2} + \frac{1}{k^3} + ...+ \frac{1}{k^{(n-1)}}) = m(k-1) - 1 +\frac{n}{k^n} $ ... (3)


k(2) $ \ \ k^2m = k + 2 + \frac{3}{k} + \frac{4}{k^2} + ... + \frac{n}{k^{(n-2)}} \ $ ...(4)

(4) - (2) $ \ \ k^2m - km = k+1 + \frac{1}{k} + \frac{1}{k^2} + \frac{1}{k^3} + ... - \frac{n}{k^{(n-1)}} $

แทนค่าจาก (3)

$ k^2m - km = k+1 + mk -m -1 + \frac{n}{k^n}$

$ m = \frac{\frac{n}{k^n} + k}{k^2-2k+1}$

แปะไว้ก่อน เดี๋ยวมาแก้

[wee]

ข้อที่ 3 ลองศึกษาดูครับ

[wee]

ข้อที่ 4 ลองศึกษาดูครับ

[wee]

ทบทวนความรู้ที่จำเป็นครับ

[wee]

ข้อที่ 2 ลองศึกษาดูครับ