โจทย์พหุนาม 1 ข้อ

[TheSugardrop23]

ถ้า $x^2 - x - 1 = 0$ แล้ว $x^9 + x^{-9} + x^6 + x^{-6} + x^3 + x^{-3} +1$ มีค่าเท่าใด

[cardinopolynomial]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TheSugardrop23

ถ้า $x^2 - x - 1 = 0$ แล้ว $x^9 + x^{-9} + x^6 + x^{-6} + x^3 + x^{-3} +1$ มีค่าเท่าใด

$19-36\sqrt{5},19+36\sqrt{5}$

[polsk133]

$x^2-x-1=o$
$x-\frac{1}{x}=1$

$X^2-2+\frac{1}{x^2}=1$
$x^2+2+\frac{1}{x^2}=5$
$(x+\frac{1}{x})^2=5$

แล้วต่อนิดหน่อยครับ โดยใช้
ถ้า $x+\frac{1}{x}=k$
ได้ $x^3+\frac{1}{x^3}=k^3-3k$
กับ $x^2+\frac{1}{x^2}=k^2-2$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TheSugardrop23

ถ้า $x^2 - x - 1 = 0$ แล้ว $x^9 + x^{-9} + x^6 + x^{-6} + x^3 + x^{-3} +1$ มีค่าเท่าใด

$x^2 - x - 1 = 0$

$ x -1 = \frac{1}{x}$

$x - \frac{1}{x} = 1$

$ x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$

$ x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 5$

$x+\frac{1}{x}= \sqrt{5} \ \ \ \ (x-\frac{1}{x} > 0 \ \to \ x+\frac{1}{x} \not= -\sqrt{5})$

$x^3+ \frac{1}{x^3} = 2\sqrt{5} $

$x^6 + \frac{1}{x^6} = 18 $

$x^9+\frac{1}{x^9} = 34\sqrt{5}$


$(x^9 + x^{-9}) + (x^6 + x^{-6}) + (x^3 + x^{-3}) +1$

=$ ( 34\sqrt{5} )+(18 )+(2\sqrt{5} )+1 $

= $19 + 36\sqrt{5}$

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

$x^2 - x - 1 = 0$

$x+\frac{1}{x}= \sqrt{5} \ \ \ \ (x-\frac{1}{x} > 0 \ \to \ x+\frac{1}{x} \not= -\sqrt{5})$

จากสมการ $x^2 - x - 1 = 0$ จะได้คำตอบเป็น $x = \dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}$
ในกรณีที่ $x = \dfrac{1- \sqrt{5}}{2}$ เราจะพบว่า $\ x+\frac{1}{x}$ สามารถเป็น $-\sqrt{5}$ ได้ครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Puriwatt

จากสมการ $x^2 - x - 1 = 0$ จะได้คำตอบเป็น $x = \dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}$
ในกรณีที่ $x = \dfrac{1- \sqrt{5}}{2}$ เราจะพบว่า $\ x+\frac{1}{x}$ สามารถเป็น $-\sqrt{5}$ ได้ครับ

ขอบคุณครับ

คุณPuriwatt กลับมาแล้ว