สมการกำลังสี่

[กระบี่ทะลวงด่าน]

ให้ P(x) = $x^4$ - $px^3$ + $qx^2$ - rx + s จงเเสดงว่า
1)ถ้าผลบวกของรากสองรากของสมการ p(x)=0 เท่ากับผลบวกของรากอีกสองราก เเล้ว $p^3$ + 4pq + 8r=0
2)ถ้าผลคูณของรากสองรากของสมการ p(x)=0 เท่ากับผลคูณของรากอีกสองราก เเล้ว $sp^2$ = $r^2$

[Amankris]

ข้อแรกไม่จริงนี่ครับ

[กระบี่ทะลวงด่าน]

ขอบคุณครับ ตอนนี้ผมเปลี่ยนให้เเล้วครับ

[Amankris]

ผมว่าเช็คเครื่องหมายดีไหม

[กระบี่ทะลวงด่าน]

ถูกเเล้วนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่ทะลวงด่าน

ให้ $P(x) = x^4 - px^3 + qx^2 - rx + s$ จงเเสดงว่า
1)ถ้าผลบวกของรากสองรากของสมการ $P(x)=0$ เท่ากับผลบวกของรากอีกสองราก เเล้ว $p^3 -4pq + 8r=0$

โจทย์ที่ผมมีเป็นแบบนี้นะ

สมมติ $a,b,c,d$ เป็นรากโดยที่ $a+b=c+d$

โดยความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์พหุนาม

$p=a+b+c+d$

$q=ab+bc+cd+da+ac+bd$

$r=abc+bcd+cda+dab$

ลองเปลี่ยนทุกอย่างที่มี $c+d$ ให้เป็น $a+b$ ให้หมดครับ

แต่เทอมที่มี $ab,cd$ ให้คงไว้

[kongp]

เป็นผมไม่คิดแบบนี้นะ เช่น ผลคูณ=ผลบวก แล้วผลคูณเป็นผลบวกได้ไหมละ ?

[เทพเวียนเกิด]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่ทะลวงด่าน

ให้ P(x) = $x^4$ - $px^3$ + $qx^2$ - rx + s จงเเสดงว่า
1)ถ้าผลบวกของรากสองรากของสมการ p(x)=0 เท่ากับผลบวกของรากอีกสองราก เเล้ว $p^3$ + 4pq + 8r=0
2)ถ้าผลคูณของรากสองรากของสมการ p(x)=0 เท่ากับผลคูณของรากอีกสองราก เเล้ว $sp^2$ = $r^2$

ใช่ สอวน หรือป่าวครับ ข้อนี้ อยู่ในค่ายตุลา 51 7 คะเเนนด้วยครับ

[เทพเวียนเกิด]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่ทะลวงด่าน

ให้ P(x) = $x^4$ - $px^3$ + $qx^2$ - rx + s จงเเสดงว่า
1)ถ้าผลบวกของรากสองรากของสมการ p(x)=0 เท่ากับผลบวกของรากอีกสองราก เเล้ว $p^3$ + 4pq + 8r=0
2)ถ้าผลคูณของรากสองรากของสมการ p(x)=0 เท่ากับผลคูณของรากอีกสองราก เเล้ว $sp^2$ = $r^2$

1.) สมมติรากทั้ง 4 ตัวของสมการนี้เป็น a,b,c,d
ดังนั้น a+b+c+d = p สมมติให้ a+b = c+d = $\frac{p}{2}$
ab+bc+cd+ac+ad+bd = q
ab+cd+(a+b)(c+d) = q = $ab+cd+(\frac{p}{2})^2$
r = abc+acd+bcd+abd = ab(c+d) + cd(a+b) =$\frac{p(ab+cd)}{2}$
ab+cd = $\frac{2r}{p}$
q = $\frac{2r}{p}+(\frac{p}{2})^2$ = $\frac{p^3+8r}{4p}$
4pr = $p^3$+ 8r
$p^3-4pr+8r=0$ จริง QED
2.) สมมติรากทั้ง 4 ตัวของสมการนี้เป็น a,b,c,d
ดังนั้น abcd = s สมมติให้ ab = cd = $\sqrt{s}$
r = abc+acd+bcd+abd = $\sqrt{s}(a+b+c+d)$
เนื่องจาก a+b+c+d = p
r = $\sqrt{s}p$
ยกกลำลังทั้งสองข้างได้
$r^2 = sp^2$ จริง QED