Number Theory พิสูจน์ ครับ

[หัดเดินบนโลกคณิตศาสตร์]

$ax^2(c+b)x+(e+d)=0$ มีรากเป็นจำนวนจริงที่มีค่ามากกว่า 1 แล้ว จงแสดงว่าสมการ
$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$
มีรากเป็นจำนวนจริงอย่างน้อย 1 ตัว

[nooonuii]

รีบไปหน่อยนะ กลับมาแก้โจทย์ก่อน

[หัดเดินบนโลกคณิตศาสตร์]

แก้แล้วครับ ขอโทษจิงๆ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หัดเดินบนโลกคณิตศาสตร์

$ax^2(c+d)x+(e+d)=0$

ตรงนี้หมายถึงอะไรครับ

ไม่มี $b$ ด้วยเหรอครับ

[หัดเดินบนโลกคณิตศาสตร์]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ตรงนี้หมายถึงอะไรครับ

ไม่มี $b$ ด้วยเหรอครับ

เปง c+b ครับแก้แล้ว

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หัดเดินบนโลกคณิตศาสตร์

$ax^2+(b+c)x+(d+e)=0$ มีรากเป็นจำนวนจริงที่มีค่ามากกว่า 1 แล้ว จงแสดงว่าสมการ
$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ มีรากเป็นจำนวนจริงอย่างน้อย 1 ราก

โจทย์เป็นแบบนี้เหรอครับ

[หัดเดินบนโลกคณิตศาสตร์]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

โจทย์เป็นแบบนี้เหรอครับ

ใช่แล้วครับ

[Keehlzver]

มันคือ USAMO ปีเก่าๆ
ให้ $P(x)=ax^2+(b+c)x+d+e$
$Q(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$

สังเกตว่า $Q(x)=P(x^2)+(bx^2+d)(x-1)$
แล้วพิสูจน์ขัดแย้งครับ

[หัดเดินบนโลกคณิตศาสตร์]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

มันคือ USAMO ปีเก่าๆ
ให้ $P(x)=ax^2+(b+c)x+d+e$
$Q(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$

สังเกตว่า $Q(x)=P(x^2)+(bx^2+d)(x-1)$
แล้วพิสูจน์ขัดแย้งครับ

อ่อ ออกแล้วคร่าปผม ขอบคุณมากครับ

[nooonuii]

ไปแกะวิธีนี้มาจาก AOPS ครับ

ให้ $Q(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$

สมมติว่า $r$ คือรากของ $ax^2+(b+c)x+(d+e)$

จะได้ $ar^2+cr+e=-(br+d)$

ดังนั้น

$Q(\sqrt{r})=(br+d)(\sqrt{r}-1)$

$Q(-\sqrt{r})=-(br+d)(\sqrt{r}+1)$

$Q(\sqrt{r})Q(-\sqrt{r})=(1-r)(br+d)^2\leq 0$

จึงได้ว่าจะมีรากของ $Q(x)$ อยู่ในช่วง $[-\sqrt{r},\sqrt{r}]$

ที่ไม่ชอบวิธีนี้เท่าไหร่คือต้องอ้าง Intermediate Value Theorem ครับ

ป.ล. ลืมถามว่า USAMO ปีไหนครับ

[Keehlzver]

จริงๆแล้วโจทย์ข้อนี้ตัวอย่างในวิชาพีชคณิตค่ายสวนกุหลาบเก่าครับ
อาจารย์บอกว่าเป็น USAMO แต่พอผมลอง Search ดูจริงๆ ดันไม่เจอ
อันนี้เป็นวิธีทำในค่ายครับ ไม่รู้ว่าผิดถูกยังไง ชี้แนะด้วยนะครับ

ต่อจากบรรทัด $Q(x)=P(x^2)+(bx^2+d)(x-1)$
เราสมมติว่า $Q(x)>0$ ทุก $x$
เลือกให้ $w^2$ เป็นรากของสมการ $P(x)=0$
ได้ว่า $Q(w),Q(-w)$ มากกว่า 0
ทำให้ $(bw^2+d)(w-1) > 0$ และ $(bw^2+d)(-w-1) > 0$ ด้วย
เพราะว่า $(bx^2+d)$ เครื่องหมายต้องเหมือนกัน
บังคับว่า $(w-1)(-w-1) > 0$ เท่านั้น ทำให้ได้ว่า $w^2 < 1$
ซึ่งขัดแย้งกับโจทย์ที่บอกว่ารากต้องมากกว่า 1
กรณี $Q(x) < 0$ ทุก $x$ ก็ทำแบบเดียวกัน

[polsk133]

จริงด้วย มีอยู่จริงๆครับ

[nooonuii]

#11 วิธีนี้ยังขาดกรณีที่ $P(x)>0$ บาง $x$ กับ $P(y)<0$ บาง $y$ นะ

ตรงนี้แหละครับที่ต้องอ้าง Intermediate Value Theorem

[Keehlzver]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

#11 วิธีนี้ยังขาดกรณีที่ $P(x)>0$ บาง $x$ กับ $P(y)<0$ บาง $y$ นะ

ตรงนี้แหละครับที่ต้องอ้าง Intermediate Value Theorem

เพราะว่ากรณีที่ทำเอาไว้ คุมแค่กรณีที่ $P(x) = 0$ ยังขาดกรณีที่ $P(x) > 0$ กับ $P(x) < 0$ บาง $x$ ใช่ไหมครับ??

ผมถึงว่าที่ลอกมาไม่เห็นมี Intermediate Value Theorem เลย