ข้อสอบสอวน.ค่าย1 part3

[ปากกาเซียน]

$1.จงพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้$
$1.1 \frac{(12n)!}{2^{5n}3^{2n}}\in \mathbf{Z} $
$1.2 \frac{((n+1)!)!}{(n!)^{n!}(n!)!} $
$2.จงพิสูจน์เชิงการจัด$
$\binom{n+1}{m}=\binom{n}{m-1}+\binom{n-1}{m}+\binom{n-1}{m-1} $
$3.n\geqslant 2 เป็นจำนวนนับ$
$ จงหาจำนวนผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็มไม่ลบของ x_1+x_2+.....+x_{3n}\leqslant 4n เมื่อ $
$1\leqslant x_1,x_2\leqslant n $

[polsk133]

1.1 เปลี่ยนตัวส่วนเป็น $(3!)^{2n}2^{3n}$ แล้วเล่านิทานโดยใช้เซตที่มีสมาชิก 12n ตัว

[polsk133]

1.2 มีของ n!+1 ชนิด
ชนิดที่ 1 ถึง n! มีอย่างละ n ชิ้น
ชนิดที่ n!+1 มี n ชิ้น
จะได้ว่ามีทั้งหมด (n+1)! ชิ้น

เอามาสับเปลี่ยนในแนวตรง จะได้

$\dfrac{((n+1)!)!}{(n!)(n!)(n!)...(n!)((n!)!)}=โจทย์$

[Sirius]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ปากกาเซียน

$2.จงพิสูจน์เชิงการจัด$
$\binom{n+1}{m}=\binom{n}{m-1}+\binom{n-1}{m}+\binom{n-1}{m-1} $

ให้เซต $A={1,2,3,...,n+1}$

จะนับจำนวนสับเซตของ A ที่มีสมาชิก m ตัว ใน 2 วิธี

วิธีที่ 1 นับแบบปกติ : จะได้ว่ามี $\binom{n+1}{m}$ สับเซต

วิธีที่ 2 แบ่งกรณี

กรณีที่ 1 1 อยู่ในสับเซตที่ต้องการ : จะสามารถเลือกได้เพิ่มอีก m-1 ตัวจาก n ตัวที่เหลือได้ $\binom{n}{m-1}$ วิธี

กรณีที่ 2 1 ไม่อยู่ในสับเซตที่ต้องการ แบ่งเป็นกรณีย่อย 2 กรณี

- 2 อยู่ในสับเซตที่ต้องการ : จะสามารถเลือกได้ m-1 ตัวจาก n-1 ตัวที่เหลือได้ $\binom{n-1}{m-1}$ วิธี

- 2 ไม่อยู่ในสับเซตที่ต้องการ : จะสามารถเลือกได้ m ตัวจาก n-1 ตัวที่เหลือได้ $\binom{n-1}{m}$ วิธี

$\therefore \binom{n+1}{m}=\binom{n}{m-1}+\binom{n-1}{m}+\binom{n-1}{m-1} $

[Sirius]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ปากกาเซียน

$3.n\geqslant 2 เป็นจำนวนนับ$
$ จงหาจำนวนผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็มไม่ลบของ x_1+x_2+.....+x_{3n}\leqslant 4n เมื่อ $
$1\leqslant x_1,x_2\leqslant n $

ข้อนี้ใช้ PIE ก็ออกแล้วครับ

[polsk133]

ขอบบนทำไงหรอครับผมลืม ทำเป็นแต่ขอบล่าง

[Thgx0312555]

ลบกรณีเกินขอบบนออกครับ
ถ้าขอบบนหลายๆตัวก็ ต้องใช้หลักการเพิ่มเข้าตัดออกช่วยด้วยครับ

[tonklaZolo]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

ชนิดที่ n!+1 มี n ชิ้น

น่าจะมี n! ชิ้นป่ะคับ