closure operation

[Lekkoksung]

Definition Let $A$ be a set. A mapping $C : \mathcal{P}(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$ is called a closure operator on $A$,
if for all subsets $X, Y \subseteq A$ the following properties are satisfies:

(i) $X \subseteq C(X)$

(ii) $X \subseteq Y \Rightarrow C(X) \subseteq C(Y)$

(iii) $C(X)=C(C(X))$.

Definition Let $A$ be a set. A subset $\mathcal{H}$ of $\mathcal{P}(A)$ is called a closure system if it satisfied the
following two conditions:

(i) $A \in \mathcal{H}$ and
(ii) $\cap \mathcal{B} \in \mathcal{H}$ for every non-empty subset $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{H}$.

Definition Given a closure system $\mathcal{H}$ on a set $A$, we define an operator $$C_{\mathcal{H}} : \mathcal{P}(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$$ on $A$, by $$X \mapsto C_{\mathcal{H}}(X) := \cap \{ H \in \mathcal{H} : X \subseteq H \}, \textrm{for all } X \subseteq A.$$
And for any closure operator $C$ on $A$, we set $$\mathcal{H}_{C}:=\{ X \subseteq A : C(X)=X \}.$$

ช่วยแสดงข้อนี้ให้หน่อยครับ

Let $\mathcal{H}$ be a closure system and $C$ be a closure operator on the set $A$. Then $C_{\mathcal{H}_{C}}=C.$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Lekkoksung

Definition
And for any closure operator $C$ on $A$, we set $$\mathcal{H}_{C}:=\{ X \subseteq A : X(X)=X \}.$$

บรรทัดนี้ถูกรึยังครับ

[Lekkoksung]

แก้ไขแล้วครับ

[nooonuii]

จะพิสูจน์ฟังก์ชันสองฟังก์ชันเท่ากันจะต้องทำยังไงเหรอครับ

[Lekkoksung]

Show that $C_{\mathcal{H}_{C}}(X)=C(X)$ for all $X \subseteq A$. ครับ

[Anarist]

ขา $ C_{\mathcal{H}_{C}}(X) \supseteq C(X) $
ใช้ว่า $X \subseteq H$ implies $C(X) \subseteq C(H) = H$

ส่วนขา $ C_{\mathcal{H}_{C}}(X) \subseteq C(X) $
ใช้ว่า $C(C(X)) = C(X) $ implies $C(X) \in \mathcal{H}_{C}$