โจทย์จำนวนเชิงซ้อน

[truetaems]

1. สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $z=a+bi$ และ $w=c+di$ ใดๆ
นิยาม $z\ast w = ac-bdi$
กำหนดให้ $z=\sqrt{2}-2i$ ถ้า $w$ เ็ป็นตัวผกผันของ $z$ ภายใต้โอเปอเรชัน $\ast$
แล้ว ${|\overline{w}|^2}+|z|^2$ มีค่าเ่ท่าใด

[truetaems]

ข้อนี้ผมทำไม่ได้ครับ

[truetaems]

โจทย์ข้อนี้ที่ผมทำไม่ได้ ตรงโจทย์ที่บอกว่า "w เ็ป็นตัวผกผันของ z ภายใต้โอเปอเรชัน *" อันนี้หมายถึงอะไรครับ
ตอนแรกผมจะให้ w = 1/z แต่กลับไปทวนโจทย์ก็ยังงงอยู่

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ truetaems

1. สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $z=a+bi$ และ $w=c+di$ ใดๆ
นิยาม $z\ast w = ac-bdi$
กำหนดให้ $z=\sqrt{2}-2i$ ถ้า $w$ เ็ป็นตัวผกผันของ $z$ ภายใต้โอเปอเรชัน $\ast$
แล้ว ${|\overline{w}|^2}+|z|^2$ มีค่าเ่ท่าใด

ถ้า a และ b เป็นตัวผกผัน(อินเวอร์ส) ซึ่งกันและกัน หมายความว่า a * b = I = b * a (เป็นนิยาม)

เมื่อ I เป็นเอกลักษณ์ของโอเปเรชันนั้น ๆ ครับ

(ต้องกลับไปทบทวนนิยาม เรื่องเอกลักษณ์ กับอินเวอร์ส ในเรื่องจำนวนจริงก่อนครับ)

http://www.mathcenter.net/review/rev...iew02p01.shtml
(ดูตัวอย่างด้านล่าง หน้าที่ 1 กับ หน้าที่ 2)

นั่นคือในที่นี้ก่อนที่จะหาอินเวอร์สของจำนวนใด ๆ จะต้องหาเอกลักษณ์ภายใต้โอเปอเรชัน ออกมาเสียก่อนครับ

จากนั้นเมื่อได้เอกลักษณ์ของระบบ จึงจะหาอินเวอร์สหรือตัวผกผันของจำนวนใด ๆ ในระบบนั้นได้

ที่คุณแฟร์ทำออกมานั้น ยังไม่ใช่ครับ เพราะยังไม่ได้หาเอกลักษณ์ของระบบภายใต้โอเปอเรชัน * ออกมาก่อน

หมายเหตุ โจทย์ข้อนี้เป็นข้อสอบ Ent' กข. ปี พ.ศ.2533 ครับ.

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ truetaems

1. สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $z=a+bi$ และ $w=c+di$ ใดๆ
นิยาม $z\ast w = ac-bdi$
กำหนดให้ $z=\sqrt{2}-2i$ ถ้า $w$ เ็ป็นตัวผกผันของ $z$ ภายใต้โอเปอเรชัน $\ast$
แล้ว ${|\overline{w}|^2}+|z|^2$ มีค่าเ่ท่าใด

$ w=c+di $

ให้ e=x+yi เป็นเอกลักษณ์ของโอเปอเรชัน $\ast$

$z \ast e= \sqrt{2}x+2yi=\sqrt{2}-2i$

ดังนั้น x=1 y=-1 จะได้ e=1-i

$w$ เป็นตัวผกผันของ $z$ ภายใต้โอเปอเรชัน $\ast$ แล้ว

$z \ast w=e=\sqrt{2}c+2di=1-i$

ได้ $c=\frac{1}{\sqrt{2}} $ $ d=-\frac{1}{2} $

$w=\frac{1}{\sqrt{2}} -\frac{1}{2} i$

$\left|\,w\right| =\left|\,\bar w\right| =\sqrt{ (\frac{1}{\sqrt{2}} )^2+(\frac{1}{2} )^2}$

$\left|\,\bar w\right|^2=\frac{3}{4} $

$\left|\, z\right|^2=6$

$\left|\,\bar w\right|^2+\left|\,z\right|^2=6.75$

[truetaems]

ทำได้แล้วครับ ขอบคุณครับ

[truetaems]

โจทย์ข้อนี้ถูกนำไปเป็นข้อสอบกลางภาคที่โรงเรียนด้วยครับ
ให้ $\alpha$ เป็นรากที่สามของ $9+4\sqrt{5}$ และ $\beta$ เป็นรากที่สามของ $9-4\sqrt{5}$ ถ้า $\alpha +\beta$ และ $\alpha\beta$ เป็นจำนวนจริงแล้ว จงหาค่า$\alpha +\beta$ และ $\alpha\beta$

[Thgx0312555]

ข้อนี้คิดเป็นโจทย์จำนวนจริงจะง่ายกว่านะ
พิจารณา
$\alpha^3\beta^3=1$

แต่ $\alpha\beta\in\mathbb{R}$ จะได้ $\alpha\beta=1$

พิจารณา
$\alpha^3+\beta^3=18$
$(\alpha+\beta)((\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta)=18$
$(\alpha+\beta)^3-3(\alpha+\beta)-18=0$

แต่ $\alpha+\beta\in\mathbb{R}$ จะได้ $\alpha+\beta=3$

[truetaems]

ขอบคุณครับ