โจทย์บางส่วนจาก 10th TUMSO

[PP_nine]

1. หารากจริงจากสมการ
$$\arccos (2x-x^3) \cdot \arccos (-4x^2+4x^4-x^6) = \dfrac{\pi ^2}{2}$$
______________________________________________________________________

2. สามเหลี่ยม ABC มีมุม $A=60^{\circ}$ และ $B>C$ โดย $\cos(B-C)=\dfrac{7}{8}$

ให้ D เป็นจุดสัมผัสระหว่างด้าน BC กับ excircle ตรงข้ามมุม A และ AD ตัด incircle ABC ที่จุด E (ใกล้ BC สุด)

และ incircle สัมผัส BC ที่ F ถ้ารัศมี circumcircle ABC ยาว 1 หน่วยแล้ว รัศมี circumcircle DEF ยาวเท่าไร
______________________________________________________________________

3. ให้ $z,w \in \mathbb{C}$ โดยที่ $Arg(z), Arg(w) \in \Big( 0 , \dfrac{\pi}{2} \Big)$ และ $w^2=z$

จงหาจำนวนจริง $k$ ทั้งหมดที่ทำให้ $z+\dfrac{k}{w}$ เป็นจำนวนจริง (ตอบในรูปของ $|z|$, $Arg(z)$ หรือค่าคงที่เท่านั้น)
______________________________________________________________________

4. ให้ $P_1,P_2$ เป็นพาราโบลาซึ่งจุดยอด, จุดโฟกัสของ $P_1$ คือจุดโฟกัส, จุดยอดของ $P_2$ ตามลำดับ

ถ้าสมการไดเรกตริกซ์ของ $P_1,P_2$ คือ $\sqrt{\dfrac{26}{503}}x+\dfrac{69+\sqrt{2012}}{\sqrt{503}}$ และ $\sqrt{\dfrac{26}{503}}x+\dfrac{\sqrt{2012}-69}{\sqrt{503}}$ ตามลำดับ

กำหนดให้ $P_1,P_2$ มีจุดยอดที่ $v_1,v_2$ และสองพาราโบลาตัดกันที่ $A,B$ จงหาพื้นที่ของ $Av_1Bv_2$
______________________________________________________________________

5. จำนวนจริง $x,y,z$ สอดคล้องสมการ
$$\arcsin(y-x)+\arccos(x^2-2x-y)+(\frac{z^2}{x}+x) \cdot \frac{\pi}{2x}=0$$
จงหาค่าของ $x+y+z$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
______________________________________________________________________

6. ให้ P เป็นพาราโบลาที่มีจุดยอด (0,a) เมื่อ a>0 และมีแกนขนานกับแกน Y โดยที่ P สัมผัส y=x และสะท้อนได้พาราโบลา Q

ให้ $V_P,V_Q,F_P,F_Q$ แทนจุดยอด, จุดโฟกัสของ P, Q ตามลำดับ และ $\theta$ คือมุมแหลมที่เกิดจากการตัดกันของเส้นตรง $F_PV_Q$ และ $F_Q,V_P$

จงหาค่าของ $\cos\theta$
______________________________________________________________________

7. หาค่าของ $\sin \dfrac{2\pi}{7} + \sin \dfrac{4\pi}{7} - \sin \dfrac{6\pi}{7}$


ปล. ช่วงนี้ยังไม่สะดวกแสกนข้อสอบให้ ถ้าสะดวกแล้วจะรีบแสกนให้ครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

ไปเจอโจทย์ข้อนึง เฉลยบอกว่า 3 ซึ่งแทนค่าแล้วมันไม่ใช่ เลยสงสัยว่าจริงๆแล้วตอบอะไรกัน ผมยังทำไม่ออกเลย

โจทย์ให้หารากจริงจากสมการ $\arccos (2x-x^3) \cdot \arccos (-4x^2+4x^4-x^6) = \dfrac{\pi ^2}{2}$

ปล. ช่วงนี้ยังไม่สะดวกแสกนข้อสอบให้ ถ้าสะดวกแล้วจะรีบแสกนให้ครับ

ผมลองคิดหยาบ ๆ แบบง่าย ๆ ที่ขอบ แต่ยังไม่ได้พิจารณาช่วงหรือความเป็นไปได้ให้ครบทั้งหมดนะครับ

คือลองจับให้มัน $\pi/2 \cdot \pi$ แล้วเทียบตรง ๆ จะได้

$x=1, ~~-2\sin 54^{\circ} = \frac{-1-\sqrt{5}}{2}, 2\sin 18^{\circ} = ~~\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

เป็นจำนวนจริง 3 ค่าที่ใช้ได้

[PP_nine]

อ๋อ รู้แล้วครับ โจทย์ให้หาจำนวนรากสมการ ก็ว่าทำไมคำตอบแปลกๆ

[TimeTimeFruit]

โจทย์ฉบับเต็ม (รอบ 1 และ รอบ 2 ครับ)

http://www.mediaไฟ.com/?6a67bv7v7y7s9kp

เปลี่ยนคำว่า ไฟ เป็น fire นะครับ , ผมไม่รู้ว่าที่นี่ลง link ไปเลยได้หรือเปล่าจึงกันไว้ก่อน

Credit ; Eng_gim

[Real Matrik]

ขอบคุณมากครับ

[truetaems]

ขอบคุณมากครับ ^^

[Suwiwat B]

ขอบคุณครับ กำลังรออยู่เลย

[-Math-Sci-]

ตอน pat1 ก็จำมาฝาก -0-

ขอบคุณมาก ๆ ครับ

[PP_nine]

ขอบคุณ Eng_gim ด้วยเน้อ อุตส่าห์สแกนให้ เครื่องสแกนที่บ้านพังอยู่

[แม่ให้บุญมา]

file โดนลบไปแล้วครับ