Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์ทั่วไป > บทความคณิตศาสตร์ทั่วไป
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 27 สิงหาคม 2011, 23:58
TOP's Avatar
TOP TOP ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 27 มีนาคม 2001
ข้อความ: 1,007
TOP is on a distinguished road
Smile การแก้สมการกำลังสาม (Cubic Equation)

การแก้สมการกำลังสาม (Cubic Equation)

บทความนี้เป็นการแก้ไขที่ผิด และปรับปรุงส่วนหนึ่งของบทความ เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์เรื่อง สมการกำลังสาม,สี่

สมการกำลังสามคือ สมการที่เขียนอยู่ในรูป $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$

น้องบางคนอาจเคยพบสมการกำลังสามเหล่านี้ และได้พยายามแก้ตามทฤษฎีที่ได้เรียนมาโดย ตั้งสมมติฐานว่าค่า $x$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ ตัวประกอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $d$ หารด้วยตัวประกอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $a$ หลังจากที่น้องได้ทำการแทนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดเหล่านี้แล้วพบว่าสมการก็ยังไม่เป็นจริง หลายคนอาจสรุปทันทีว่าคำตอบของสมการนี้เป็นจำนวนเชิงซ้อน (กรณีนี้รวมถึงสมการที่มีกำลังมากกว่าสามด้วยนะครับ) นั่นเป็นความเข้าใจผิดอย่างเต็มที่เลยครับ ที่ว่าเข้าใจผิดอย่างเต็มที่ก็เพราะว่าในทฤษฎีกล่าวไว้แต่เพียงว่า คำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดเหล่านี้ ล้วนแต่เป็นคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของจำนวนตรรกยะเท่านั้น จึงยังไม่ได้ครอบคลุมกรณีที่คำตอบจะเป็นจำนวนอตรรกยะ

ก่อนจะเข้าสู่เนื้อหา ขอย้อนอดีตถึงที่มาของบทความนี้กันก่อน เมื่อครั้งที่พี่ยังเรียนหนังสืออยู่ชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายวิชาคณิตศาสตร์เรื่องระบบจำนวนจริงที่สอนให้เราแก้สมการพหุนามที่มีดีกรีมาก กว่าสองขึ้นไปได้ พี่รู้สึกทึ่งมากและคิดว่าเราแก้ได้ทุกสมการแล้ว ลองหาสมการจากแบบฝึกหัดในแบบเรียนและคู่มือคณิตศาสตร์ทั้งหลายมาแก้ก็แก้ได้ทั้งหมด ไม่เห็นมันยากตรงไหน แต่แล้วความรู้สึกชื่นชมก็หายไป หลังจากยังไม่หายร้อนวิชา ลองตั้งสมการพหุนามมั่วๆขึ้นมาดูเองซิว่าจะแก้ได้หรือเปล่า เช่น $x^3 + 2x - 6 = 0$ ฮ่าๆคำตอบของสมการนี้ต้องอยู่ในเซต $\{\pm1 , \pm2 , \pm3 , \pm6\}$ แน่ๆ แต่ทำไมลองแทนค่าทั้งหมดแล้วมันไม่ถูกต้องสักคำตอบ บัดนั้นพี่จึงรู้แจ้งถึงสัจธรรม นี่แสดงว่าสมการที่เราเคยพบและแก้มาทั้งหมด เป็นสมการพหุนามที่เขาเลือกมาแล้วว่าหาคำตอบด้วยวิธีในหนังสือเรียนได้ ส่วนสมการที่แก้ไม่ได้นอกจากจะไม่ได้ใส่ไว้ ยังไม่ได้บอกอีกว่ามีสมการพหุนามอีกเยอะที่แก้ด้วยวิธีนี้ไม่ได้ ที่แย่กว่านั้น พี่พบว่าไม่มีใครในชั้นเรียน (ถ้าจะพูดให้ถูกต้องกว่านี้คือ ในโรงเรียน) รู้ว่ามีสมการพหุนามที่แก้ไม่ได้ และแม้พี่จะแสดงสมการพหุนามเหล่านี้ให้เพื่อนๆดู แต่ละคนจะแสดงสายตาดูถูกประมาณว่า สมการกำลังสามง่ายๆแค่นี้ แก้กันไม่เป็นหรืออย่างไร หลังจากเพื่อนๆแก้กันไปพักใหญ่ก็เริ่มรู้แล้วว่าวิธีที่เรียนมาแก้ไม่ได้ ทุกคนยอมรับตามนั้นทันที โดยไม่มีใครสงสัยหรืออยากรู้เพิ่มเติมถึงวิธีแก้ แล้วน้องละครับอยากรู้วิธีแก้หรือเปล่าละ

เดิมทีเราเคยศึกษาการแก้สมการกำลังสองกันมาแล้ว แต่น้องทราบหรือไม่ว่ากว่าจะแก้สมการกำลังสามได้นี่เขาใช้เวลากันเป็นร้อยปีทีเดียว จนกระทั่งมีอัจฉริยะผู้หนึ่งกำเนิดขึ้นมา จำไม่ได้แล้วว่าชื่ออะไร อาจารย์ได้มอบหมายการบ้านในการแก้สมการกำลังสามแก่เขา ซึ่งเขาก็สามารถแก้ได้ การบ้านข้อนั้นคือให้แก้สมการกำลังสามที่อยู่ในรูป $x^3 + px + q = 0$ ถ้าน้องคนใดคิดว่าโจทย์ข้อนี้น่าสนใจหรือคิดว่าตัวเองก็เป็นอัจฉริยะเช่นกัน จะลองแก้โจทย์ข้อนี้ด้วยตัวเองดูก่อนก็ได้

น้องบางคนอาจเกิดความสงสัยได้ว่า รูปแบบของโจทย์ที่อาจารย์ให้มานี้กับรูปแบบของสมการกำลังสามที่เราจะแก้ มีรูปแบบไม่เหมือนกัน แล้วอย่างนี้จะถือได้ว่าสามารถแก้สมการกำลังสามในรูปแบบที่เราต้องการได้หรือ ก่อนที่จะแสดงให้เห็นจริงนั้นก็จะขอพูดถึงเรื่องการเปลี่ยนรูปของสมการพหุนามกันก่อน

การเปลี่ยนรูปพหุนาม

หากเราแทนค่า $x = y - c$ ลงไปในพหุนาม $a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ จะได้
$\begin{array}{rl}
& a_n x^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + a_{n - 2}x^{n - 2} + \cdots + a_2 x^2 + a_1x + a_0\\
= & a_n (y - c)^n + a_{n-1}(y - c)^{n - 1} + a_{n - 2}(y - c)^{n - 2} + \cdots + a_2 (y - c)^2 + a_1 (y - c) + a_0\\
= & a_n y^n + (-n a_n c + a_{n - 1}) y^{n - 1} + \left(\binom{n}{2} a_n c^2 - \binom{n - 1}{1} a_{n - 1} c + a_{n - 2}\right) y^{n - 2} + \cdots
\end{array}$

ไม่ต้องตกใจนะครับที่เห็นพหุนามที่ได้มันจะยุ่งๆ ในที่นี้เราให้ความสนใจเฉพาะเทอมของ $y^{n - 1}$ เท่านั้น
น้องจะพบว่าหากเราต้องการให้พหุนามใดๆก็ตามที่เปลี่ยนรูปแล้ว ทำให้เทอมของ $y^{n - 1}$ หายไป
ก็คือทำให้ค่า $-n a_n c + a_{n - 1} = 0$ หรือ $c = \frac{a_{n - 1}}{n a_n}$ นั่นเอง


ลองนำความรู้เรื่องการเปลี่ยนรูปมาใช้กับสมการกำลังสอง (Quadratic Equation) $ax^2 + bx + c = 0$
เพราะว่า $n = 2$ จะได้ $c = \frac{a_1}{2 a_2} = \frac{b}{2a}$
แทนค่า $x = y - \frac{b}{2a}$ ลงไป จะได้
$\begin{array}{rl}
ax^2 + bx + c & = 0 \\
a\left(y - \frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(y - \frac{b}{2a}\right) + c & = 0\\
ay^2 - by + \frac{b^2}{4a} + by - \frac{b^2}{2a} + c & = 0\\
ay^2 + \left(\frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c\right) & = 0\\
y^2 & = \dfrac{2b^2 - b^2 - 4ac}{4a^2}\\
y & = \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\end{array}$

เห็นไหมครับว่าสมการกำลังสองแก้ได้ง่ายขึ้นเยอะ
ถึงตรงจุดนี้เราจึงได้รากคำตอบของสมการกำลังสองคือ
$x = y - c = \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} - \frac{b}{2a} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
ตรงกับรูปแบบที่เรารู้จักดีนั่นเอง


เมื่อเรานำความรู้เรื่องการเปลี่ยนรูปมาใช้กับสมการกำลังสาม
เราสามารถเปลี่ยนรูปเพื่อให้เทอมของ $y^2$ หายไปได้เช่นเดียวกัน
โดยเลือกค่า $c = \frac{a_2}{3 a_3} = \frac{b}{3 a}$
แทนค่า $x = y - \frac{b}{3 a}$ ลงไปจะได้
$\begin{array}{rl}
ax^3 + bx^2 + cx + d & = 0\\
a\left(y - \frac{b}{3 a}\right)^3 + b\left(y - \frac{b}{3 a}\right)^2 + c\left(y - \frac{b}{3 a}\right) + d & = 0\\
ay^3 + \left(c - \frac{b^2}{3a}\right)y + \left(\frac{2b^3}{27a^2} - \frac{bc}{3a} + d\right)& = 0\\
y^3 + \left(\frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2}\right)y + \left(\frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a}\right)& = 0
\end{array}$

เห็นไหมครับว่าสมการเปลี่ยนมาอยู่ในรูปแบบ $y^3 + py + q = 0$ เรียบร้อยแล้ว
โดยมีค่า $p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2}$ และ $q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a}$

การแก้สมการ $y^3 + py + q = 0$

ทีนี้ก็มาถึงการแก้ปัญหาที่อาจารย์ให้มาสักที การแก้ปัญหานี้ทำได้หลายวิธี
วิธีหนึ่งในการแก้สมการนี้คือ สมมติให้ $y = u + v$
แทนค่าลงไปจะได้ $u^3 + v^3 + (p + 3uv)(u + v) + q = 0$

เราจะลดความยุ่งยากของสมการลงโดยการทำให้เทอมที่สามหายไป โดยใช้การกำหนดเงื่อนไขทำให้เทอมที่สามหายไป
นั่นคือเราต้องการให้ $p + 3uv = 0$ หรือ $uv = -\frac{p}{3}$
จะได้ $u^3 + v^3 + 0 \cdot (u + v) + q = 0$ หรือ $u^3 + v^3 = -q$
หากเราสามารถแก้สมการหาค่า $u$ และ $v$ ออกมาได้ ก็จะหาค่า $y$ ได้
ซึ่งถ้าสังเกตให้ดีจะพบว่าจากเงื่อนไข $uv = -\frac{p}{3}$ หรือ $u^3v^3 = -\frac{p^3}{27}$ และ $u^3 + v^3 = -q$
เห็นรูปแบบคุ้นๆไหม ผลคูณของสองจำนวน($u^3 \cdot v^3$)ได้ค่าหนึ่ง และผลบวกของสองจำนวน($u^3 + v^3$)ได้ค่าหนึ่ง
นี่คือรากคำตอบของสมการกำลังสอง $t^2 - (u^3 + v^3)t + u^3v^3 = 0$ หรือ $t^2 + qt - \frac{p^3}{27} = 0$ นั่นเอง

เพราะว่ารากคำตอบของสมการกำลังสองคือ $t = -\frac{q}{2} \pm \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}$

โดยไม่เสียนัยทั่วไป เราสามารถกำหนดให้
$u^3 = -\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}$ จะได้ $u = \left(-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}$
และ $v^3 = -\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}$ จะได้ $v = \left(-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}$
ดังนั้น $y = u + v = \left(-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} + \left(-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}$
และ $x = y - c = \left(-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} + \left(-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} - \frac{b}{3 a}$


วิเคราะห์รากคำตอบ

เรื่องราวทั้งหมดน่าจะจบลงตรงนี้หากเราสนใจเพียงแค่รู้ว่ามีวิธีการแก้สมการกำลังสาม
แต่ในการนำสูตรนี้ไปใช้งานยังมีปัญหาหลายประการ เราลองมาวิเคราะห์กันอีกสักหน่อย

เนื่องจากรากที่ $3$ ของจำนวนเชิงซ้อนมีทั้งหมด $3$ ค่า เราจึงมีค่า $u$ และ $v$ ที่เป็นไปได้อย่างละ $3$ ค่า
นั่นหมายความว่าเราจะได้ค่าของ $y$ ที่เป็นไปได้ $3 \times 3 = 9$ ค่า หรือมีค่า $x$ ที่เป็นไปได้ 9 ค่า อย่างนั้นหรือ

เราไม่สามารถเลือกคู่ $u , v$ ได้อย่างอิสระ ค่าที่เลือกมาต้องสอดคล้องกับเงื่อนไข $uv = -\frac{p}{3}$ ด้วย
สมมติว่า $u = A$ และ $v = B$ เป็นคู่หนึ่งที่ทำให้ $uv = AB = -\frac{p}{3}$

เพื่อความสะดวกในการเขียนสัญลักษณ์
กำหนดให้ $\omega$ เป็นคำตอบของสมการ $\omega^3 = 1$ โดยที่ $\omega \neq 1$ ($\omega = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} , \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}$)
($\omega$ มี $2$ ค่า เลือกค่าไหนก็ได้)

เพราะว่าค่า $u$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ $u = A , \omega A , \omega^2 A$
และค่า $v$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ $v = B , \omega B , \omega^2 B$
จับคู่ผลคูณ $uv$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด จะพบว่ามีเพียง 3 ค่าที่แตกต่างกันเท่านั้นคือ $AB , \omega AB , \omega^2 AB$

เนื่องจาก $AB = -\frac{p}{3}$ เป็นจำนวนจริง ในขณะที่ $\omega AB , \omega^2 AB$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ค่าเหล่านี้จึงใช้ไม่ได้
(ยกเว้นกรณี $p = 0$ ซึ่งเราไม่สนใจ เพราะหาคำตอบได้ง่ายว่า $y = -q^{\frac{1}{3}}$)

ดังนั้น คู่ $u , v$ ที่ทำให้ได้ $uv = -\frac{p}{3}$ จึงเป็น $(A , B) , (\omega A, \omega^2 B) , (\omega^2 A , \omega B)$ เพียง $3$ คู่เท่านั้น
จึงได้ว่า $y = \left(-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} + \left(-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} = \cases{A + B\cr \omega A + \omega^2 B\cr \omega^2 A + \omega B}$ เพียง $3$ ค่าเท่านั้น (ไม่ใช่ $9$ ค่าอย่างที่ตั้งข้อสังเกตไว้ตอนแรก)


พิจารณาค่าของ $\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}$

ค่าของ $\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}$ บอกอะไรเราหลายอย่างเกี่ยวกับรากคำตอบของสมการ
(คล้ายๆกับ $b^2 - 4ac$ ในสมการกำลังสอง )


กรณี $\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4} \geqslant 0$ หรือ $4p^3 + 27q^2 \geqslant 0$

จะพบว่า $A = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}}$
และ $B = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}}$
สอดคล้องกับเงื่อนไข $u^3 + v^3 = A^3 + B^3 = -q$ และ $uv = -\frac{p}{3}$
ดังนั้นจะได้ $y = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}}$ เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ

ส่วนรากคำตอบอีกสองค่าที่เหลือก็คือ
$\omega A + \omega^2 B = \left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right)A + \left(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}\right)B = -(A+B)\cos \frac{\pi}{3} + i(A-B)\sin \frac{\pi}{3}$
และ $\omega^2 A + \omega B = \left(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}\right)A + \left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right)B = -(A+B)\cos \frac{\pi}{3} - i(A-B)\sin \frac{\pi}{3}$
เป็นคู่จำนวนเชิงซ้อนสังยุค โดยที่ผลคูณของสองค่านี้คือ
$\begin{array}{rl}
(\omega A + \omega^2 B)(\omega^2 A + \omega B) & = A^2 + \omega^2 AB + \omega AB + B^2 = A^2 + B^2 + (\omega^2 + \omega + 1)AB - AB \\
& = A^2 + B^2 + 0 \cdot AB - AB = A^2 + B^2 - AB
\end{array}$

เราสามารถพิสูจน์ในทางย้อนกลับได้อีกด้วยว่า รากคำตอบที่เป็นคู่จำนวนเชิงซ้อนสังยุคและจำนวนจริงหนึ่งค่า จะอยู่ในกรณีนี้ทั้งหมด
สมมติว่า รากคำตอบที่เป็นคู่จำนวนเชิงซ้อนคือ $a + bi , a - bi$ จะมีรากคำตอบที่เป็นจำนวนจริงคือ $-2a$ (เพราะว่าผลรวมของรากคำตอบทั้งหมดต้องเป็นศูนย์)
สร้างเป็นสมการกำลังสามได้ดังนี้
$\begin{array}{rl}
(y - (a+bi))(y - (a-bi))(y +2a) & = 0\\
y^3 + (b^2 - 3a^2)y + (2a^3 + 2ab^2) & = 0
\end{array}$
จะได้ $p = b^2 - 3a^2$ และ $q = 2a^3 + 2ab^2$
เราพบว่า $4p^3 + 27q^2 = 4(b^2 - 3a^2)^3 + 27(2a^3 + 2ab^2)^2 = 4b^2(9a^2 + b^2)^2 \geqslant 0$ เสมอ


กรณีเฉพาะ $\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4} = 0$ หรือ $4p^3 + 27q^2 = 0$

จะพบว่า $A = B = -\sqrt[3]{\frac{q}{2}}$
สอดคล้องกับเงื่อนไข $u^3 + v^3 = A^3 + B^3 = -q$ และ $uv = \sqrt[3]{\frac{q^2}{4}} = -\frac{p}{3}$
นอกจากนี้รากคำตอบอีกสองค่าจะซ้ำกันคือ $\omega^2 A + \omega A = (\omega^2 + \omega + 1)A - A = 0 \cdot A - A= -A$
ดังนั้นจะได้ $y = \cases{2A = -2\sqrt[3]{\frac{q}{2}}\cr -A = \sqrt[3]{\frac{q}{2}}}$


กรณี $\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4} < 0$ หรือ $4p^3 + 27q^2 < 0$

จะพบว่า $A, B$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนทุกค่า
เราได้พิสูจน์ให้เห็นแล้วว่ากรณีที่รากคำตอบเป็นคู่จำนวนเชิงซ้อน จัดอยู่ในกรณี $4p^3 + 27q^2 \geqslant 0$ ทั้งหมด
ดังนั้นรูปแบบของคำตอบที่เหลือที่เป็นไปได้มีเพียงกรณีเดียวคือ รากคำตอบทั้งหมดเป็นจำนวนจริง
(หากมีราคำตอบเป็นจำนวนเชิงซ้อน $1$ หรือ $3$ ค่า เมื่อสร้างกลับเป็นสมการกำลังสาม จะมีสัมประสิทธิ์บางตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน)

กรณีนี้ เราสามารถแก้สมการกำลังสามโดยใช้ความรู้เรื่องตรีโกณมิติมาช่วยได้

จากเอกลักษณ์ $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$
หรือ $4\sin^3 \theta - 3\sin \theta + \sin 3\theta = 0$

สมมติให้ $\sin \theta = y$ แทนค่าลงไป จะได้ว่า
$4y^3 - 3y + \sin 3\theta = 0$ หรือ $y^3 - \frac{3}{4}y + \frac{\sin 3\theta}{4} = 0$

จะเห็นว่า ในกรณีที่ $p = -\frac{3}{4}$ และ $q = \frac{\sin 3\theta}{4}$
จะมีรากคำตอบของสมการคือ $y = sin \theta$ โดยที่ $\theta = \frac{1}{3}\sin^{-1}(4q)$ และ $|q| \leqslant \frac{1}{4}$

อืมเหมือนจะใช้ได้นะ แล้วในกรณีที่ $p \neq -\frac{3}{4}$ ละ

ลองแบบนี้สิ สมมติว่า $\sin \theta = \frac{y}{a}$ แทนค่าลงไป จะได้
$\frac{4}{a^3}y^3 - \frac{3}{a}y + \sin 3\theta = 0$ หรือ $y^3 - \frac{3a^2}{4}y + \frac{a^3\sin 3\theta}{4} = 0$
มีค่า $p = - \frac{3a^2}{4}$ และ $q = \frac{a^3\sin 3\theta}{4}$

เมื่อเราทราบค่า $p, q$ ก็สามารถหาค่า $a$ และ $\theta$ ที่เหมาะสมได้เป็น
$a = \sqrt{-\frac{4p}{3}}$
และ $\theta = \frac{1}{3}\sin^{-1}\left(\frac{4q}{a^3}\right) = \frac{1}{3}\sin^{-1}\left(\frac{3q}{p}\sqrt{-\frac{3}{4p}}\right)$
จึงได้ $y = a\sin \theta = \sqrt{-\frac{4p}{3}} \sin\left(\frac{1}{3}\sin^{-1}\left(\frac{3q}{p}\sqrt{-\frac{3}{4p}}\right)\right)$

แล้วคำตอบที่เหลืออีกสองค่าละ
ก็ได้จากตอนหาค่า $\sin^{-1}$ ที่ได้มุมออกมาหลายค่านั่นเอง
ดังนั้นรากคำตอบทั้งหมด $y = \sqrt{-\frac{4p}{3}} \sin\left(\frac{1}{3}\left(\sin^{-1}\left(\frac{3q}{p}\sqrt{-\frac{3}{4p}}\right) + 2n\pi\right)\right)$ โดยที่ $n = 0, 1, 2$

ยังมีอีก $2$ เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการหารากคำตอบเหล่านี้คือ
$-\frac{4p}{3} \geqslant 0$ หรือ $p \leqslant 0$
และ
$\begin{array}{rl}
\left|\frac{3q}{p}\sqrt{-\frac{3}{4p}}\right| & \leqslant 1\\
\left(\frac{9q^2}{p^2}\right)\left(-\frac{3}{4p}\right) & \leqslant 1\\
-\frac{27q^2}{4p^3} & \leqslant 1\\
4p^3 + 27q^2 & \leqslant 0
\end{array}$

สอดคล้องกับเงื่อนไขของกรณีที่เราต้องการหารากคำตอบพอดี
แสดงว่าวิธีนี้ใช้หารากคำตอบที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดได้เท่านั้น
__________________
The difference between school and life?
In school, you're taught a lesson and then given a test.
In life, you're given a test that teaches you a lesson.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 14 มกราคม 2013, 21:25
Washirawit101's Avatar
Washirawit101 Washirawit101 ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 17 ธันวาคม 2012
ข้อความ: 65
Washirawit101 is on a distinguished road
Default

สุดยอดครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 25 กรกฎาคม 2013, 16:26
Verda7788 Verda7788 ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 กรกฎาคม 2013
ข้อความ: 2
Verda7788 is on a distinguished road
Default

สุดยอดเลยค่ะ ขอบคุณน่ะ ค่ะ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 25 กรกฎาคม 2013, 21:09
นกกะเต็นปักหลัก's Avatar
นกกะเต็นปักหลัก นกกะเต็นปักหลัก ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 มกราคม 2013
ข้อความ: 286
นกกะเต็นปักหลัก is on a distinguished road
Default

ขอบคุณครับ เข้าใจเลย
__________________
โลกนี้ช่าง...
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 28 กรกฎาคม 2013, 09:05
Guntitat Gun Guntitat Gun ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2013
ข้อความ: 323
Guntitat Gun is on a distinguished road
Default

ขอบคุณมากขอรับ
--ขอคารวะ--
__________________
คณิตศาสตร์ = สิ่งมหัศจรรย์
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 08 กันยายน 2013, 13:59
kongp kongp ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 05 พฤษภาคม 2006
ข้อความ: 875
kongp is on a distinguished road
Default

สมมติฐานบางอย่างดูไม่ครอบคุมนะครับ ไม่มีที่มาซะดื้อๆ (อาจจะมีข้อคิดอื่นที่เครียร์กว่า)สามารถแตกแขนงออกได้อีก และ ถ้ามีกราฟโชว์ด้วยจะดีมาก
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 12 ตุลาคม 2013, 11:43
Sirius's Avatar
Sirius Sirius ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไว
 
วันที่สมัครสมาชิก: 11 ตุลาคม 2012
ข้อความ: 209
Sirius is on a distinguished road
Default

ขอบคุณมากครับ
__________________
MA DO LIKE ME TO FIND FAKE COIN
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 24 พฤศจิกายน 2013, 21:54
s1xsax's Avatar
s1xsax s1xsax ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 16 พฤศจิกายน 2013
ข้อความ: 5
s1xsax is on a distinguished road
Default

...นี้สส.ส.ส..นุง...
...ละเอียด...ครบถ้วนครับ...
...แต่...อธิบายเป็นเชิงทฤษฐีมากๆแบบนี้...
...สำหรับ...เด็กที่อ่าน...น้อยคนที่จะอ่านแล้วพิจารณาทำความเข้าใจตามไปด้วย...ตั้งแต่ต้นจนจบ...หรือลายตาซะก่อนนั่นเองครับ...
...แนะนำว่า...ถ้าเป็นไปได้...ให้ทำเป็บคลิปสอน...แล้วอัปขึ้น youtube ครับ...
...จริงๆนะครับ...จะทำให้...ติดตามและทำความเข้าใจได้ดียิ่งขึ้นครับ...
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 29 พฤศจิกายน 2013, 18:18
Setthi's Avatar
Setthi Setthi ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มิถุนายน 2013
ข้อความ: 1
Setthi is on a distinguished road
Default

สุดยอดคราฟฟๆๆ
__________________
สมการ = สมการ
INFINITY = INFINITY
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
functional equation(Cauchy's equation) and composition function tukkaa ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป 0 25 พฤษภาคม 2011 10:53
ถามแนวทางแก้โจทย์ differential equation thai_be คณิตศาสตร์อุดมศึกษา 1 13 พฤษภาคม 2009 15:16
differential equationครับ Sir Aum คณิตศาสตร์อุดมศึกษา 6 25 เมษายน 2009 11:50
Equation Like Pell's Equation Anonymous314 ทฤษฎีจำนวน 11 07 มกราคม 2009 00:26
อยากเรียน Differential Equation ให้รู้เรื่อง <Darm> ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป 0 04 เมษายน 2001 10:44

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 00:33


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2014, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha