Polynomial

[ประเวศ]

Given that f(x) = $x^2 + ax + b$ is a polynomial with integral coefficients.

If f(x) is a common factor of the following polynomials:-
g(x) = $x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 3x + 1$, and
h(x) = $3x^4 - 9x^3 + 2x^2 + 3x - 1$,

find f(x).

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ประเวศ

Given that f(x) = $x^2 + ax + b$ is a polynomial with integral coefficients.

If f(x) is a common factor of the following polynomials:-
g(x) = $x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 3x + 1$, and
h(x) = $3x^4 - 9x^3 + 2x^2 + 3x - 1$,

find f(x).

$g(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 3x + 1=(x^2-3x+1)(x^2+1)$

$h(x) = 3x^4 - 9x^3 + 2x^2 + 3x - 1=(x^2-3x+1)(3x^2-1)$

$f(x) = x^2 + ax + b=x^2-3x+1$

[ประเวศ]

ขอบคุณมากครับ

ผมขอรบกวนช่วยแนะนำอีกหน่อยนะครับว่ามีหลักการหรือแนวการคิดอย่างไร ถึงได้รู้ว่าต้องแยกออกเป็น $(x^2 - 3x + 1)$ ครับ

[lek2554]

การแยกตัวประกอบมีวิธีทำหลายวิธีครับ ต้องศึกษาและฝึกฝนจนชำนาญจึงจะนำไปใช้ได้อย่างคล่องแคล่ว
ลองศึกษาเพิ่มเติมจาก link นี้ครับ
http://www.mathcenter.net/sermton/se...ton03p01.shtml

สำหรับข้อนี้ ผมทำแบบนี้ครับ

$x^4-3x^3+2x^2-3x+1$
$=(x^4+2x^2+1)+(-3x^3-3x)$
$=(x^2+1)(x^2+1)-3x(x^2+1)$
$=(x^2+1-3x)(x^2+1)$
$=(x^2-3x+1)(x^2+1)$

$3x^4-9x^3+2x^2+3x-1$
$=(3x^4+2x^2-1)+(-9x^3+3x)$
$=(x^2+1)(3x^2-1)-3x(3x^2-1)$
$=(x^2+1-3x)(3x^2-1)$
$=(x^2-3x+1)(3x^2-1)$

[ประเวศ]

ขอบคุณครับ