โจทย์เรื่องการนับ

[wrwwrw]

มีนักเรียนเอาโจทย์นี้มาถามครับ

จงหาจำนวนคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของสมการ

$$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=65$$

เมื่อ $$x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\geqslant 0$$

และทั้ง 4 ตัวแปรเป็นจำนวนเต็ม

คือผมก็ตามอ่านโจทย์ในหนังสือไม่รู้กี่ร้อยข้อ ยังไม่เห็นสักข้อที่จะใกล้เคียงกับข้อนี้เลย สมาชิกท่านใดพอจะแนะนำได้มั้ยครับ

[gon]

สมการ $e_1+ e_2+e_3+e_4 = 65$ , $e_i \ge 0 $

แปลความหมายได้หลายแบบครับ เช่นหมายความว่า

"มีของที่เหมือนกัน 65 ชิ้น นำไปแจกทั้งหมดให้เด็ก 4 คน โดยอาจจะมีบางคนไม่ได้"

"มีของที่เหมือนกัน 65 ชิ้น นำไปใส่ลงกล่องที่ต่างกัน 4 กล่อง โดยอาจจะมีบางกล่องไม่ได้ใส่"

"มีของอยู่ 4 ชนิด ต้องการเลือกมา 65 ชิ้น โดยที่แต่ละชนิดอาจจะเลือกมาซ้ำได้"

วิธีแก้ก็มีหลายวิธีครับ วิธีพื้นฐานหนึ่งก็คือการใช้หลัก stars and bars

เช่น (0, 5, 5, 55) แทนวิธีหนึ่ง ซึ่งจะเหมือนกับมี * 65 ดวง นำมาสลับกับ | 3 อัน

ดูเพิ่มเติมโดยการพิมพ์ site:mathcenter.net stars and bars ใน google มีตัวอย่างมากมายในเว็บเราครับ

หรือจะลองอ่านบทความที่ผมเขียนเป็นไฟล์ pdf ในไว้หัวนี้ครับ

จำนวนคำตอบ ยากครับ

มีทั้งบทความและแบบฝึกหัด

อีกวิธีที่มีประโยชน์มากคือการใช้ฟังก์ชันก่อกำเนิด ในที่นี้คือการหาสัมประสิทธิ์ของ $x^{65}$ จากการกระจาย $(1+x+x^2+...)^4$

[wrwwrw]

ขอบคุณทั้งสองท่านมากครับ