|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
Algebra Nice Problems collection
1. จงหาพหุนาม $P(x)$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการเชิงฟังก์ชัน $(x-1)P(x)+1=xP(x+1)$
2. จงแสดงว่าสมการ $4^x9^{1/x}+9^x4^{1/ x}=210$ มีเพียงสองคำตอบเท่านั้น 3. จงหาจำนวนเต็ม $a$ ที่ทำให้ $x^2-x+a$ เป็นตัวประกอบของ $x^{13}+x+90$ 4.ให้ $0< a_0\leq a_1\leq a_2\leq ....\leq a_{n-1}\leq 1$ เป็นจำนวนจริง ให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ที่เป็นรากหนึ่งของสมการ $$x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 =0$$ โดยที่ $\mid z\mid\geq 1$ จงแสดงว่า $z^{n+1}=1$ 5. กำหนดให้ $m \in \mathbb{N}$ จงพิสูจน์ 1. $\displaystyle cos{\frac{\pi}{2m+1}}cos{\frac{2\pi}{2m+1}}...cos{\frac{m\pi}{2m+1}}=\frac{1}{2^m}$ 2. $\displaystyle cos{\frac{\pi}{2m}}cos{\frac{2\pi}{2m}}...cos{\frac{(m-1)\pi}{2m}}=\frac{\sqrt{m}}{2^{m-1}}$ |
#2
|
||||
|
||||
solution ข้อ 5.1 โดยย่อครับ 5.2 ก็ทำคล้ายๆกันได้
5.1 $\displaystyle \prod_{k=1}^m \cos \dfrac{k \pi}{2m+1}= \dfrac{1}{2^m} \prod_{k=1}^m \Big(cis \dfrac{k \pi}{2m+1} + cis \dfrac{-k \pi}{2m+1} \Big)$ $\displaystyle \biggl( \prod_{k=1}^m \Big( cis \dfrac{k \pi}{2m+1} + cis \dfrac{-k \pi}{2m+1} \Big) \biggl)^2 = \prod_{k=1}^m \Big( cis \dfrac{2k \pi}{2m+1} + 1 \Big) \Big(cis \dfrac{-2k \pi}{2m+1} + 1 \Big) = \prod_{k=1}^{2m} \Big( cis \dfrac{2k \pi}{2m+1} + 1 \Big)$ ซึ่ง $1+1, cis \dfrac{2\pi}{2m+1} + 1,cis \dfrac{4\pi}{2m+1} + 1,...,cis \dfrac{2m\pi}{2m+1} + 1$ เป็นรากของพหุนาม $(x-1)^{2m+1}-1=0$ ดูผลคูณรากจะได้ $\displaystyle 2\prod_{k=1}^{2m} \Big( cis \dfrac{2k \pi}{2m+1} + 1 \Big) = 2$ $\displaystyle \prod_{k=1}^{2m} \Big( cis \dfrac{2k \pi}{2m+1} + 1 \Big) = 1$ $\displaystyle \biggl( \prod_{k=1}^m \Big( cis \dfrac{k \pi}{2m+1} + cis \dfrac{-k \pi}{2m+1} \Big) \biggl)^2=1$ $\displaystyle \prod_{k=1}^m \Big( cis \dfrac{k \pi}{2m+1} + cis \dfrac{-k \pi}{2m+1} \Big)=\pm 1$ $\displaystyle \prod_{k=1}^m \cos \dfrac{k \pi}{2m+1}=\pm \dfrac{1}{2^m}$ แต่เห็นได้ชัด ว่าผลคูณต้องมีค่ามากกว่า $0$ $\displaystyle \prod_{k=1}^m \cos \dfrac{k \pi}{2m+1}=\dfrac{1}{2^m}$
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ |
#3
|
|||
|
|||
$P(x)=1$ เท่านั้น
|
#4
|
||||
|
||||
ช่วยขยายความจาก อ.Nooonuiii นะครับ
ให้ $Q(x)=(x-1)(P(x)-1)$ จากโจทย์ $(x-1)P(x)-x+1=xP(x+1)-x$ $Q(x)=Q(x+1)$ ถ้าหาก $Q(x)$ ไม่ใช่พหุนามคงตัวแล้ว $deg[Q]=k$ โดย $k$ เป็นจำนวนนับ พิจารณาพหุนาม $R(x)=Q(x)-Q(0)$ ชัดเจนว่า $deg[R]=k$ จากโจทย์ จะได้ว่า $R(1)=Q(1)-Q(0)=0,R(2)=Q(2)-Q(0)=Q(1)-Q(0)=0,...,R(k+1)=0$ พหุนาม $R(x)$ มีรากมากกว่าดีกรี ดังนั้น $R(x)=0$ ทำให้ได้ว่า $Q(x)=Q(0)$ ขัดแย้งกับที่สมมุติไว้ก่อนหน้า ดังนั้น $Q(x)$ เป็นพหุนามคงตัว นั่นคือ $c=(x-1)(P(x)-1)$ ทุกจำนวนจริง $x$ เมื่อ $x=1$ จะได้ว่า $c=0$ ทำให้ได้ว่า $P(x)=1$
__________________
I'm Back |
#5
|
|||
|
|||
เพิ่มโจทย์นะครับ
6.The polynomials $P(z)$ and $Q(z)$ with complex coefficients have the same set of numbers for their zero's but possibly different multiplicities.The same is true for $P(z)+1$ and $Q(z)+1$.
Prove that $P(z)\equiv Q(z).$ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
my math problem collection | -InnoXenT- | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 169 | 30 ตุลาคม 2019 22:28 |
Problems Collection (First Series) | passer-by | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 110 | 24 พฤศจิกายน 2014 16:12 |
ช่วยแนะนำ textbook linear algebra กับ abtract algebra ที่เข้าใจง่ายหน่อยคร้าบบ | lingnoi | พีชคณิต | 2 | 12 มกราคม 2013 23:21 |
Nice Problems!!!.... | tatari/nightmare | ทฤษฎีจำนวน | 1 | 09 กรกฎาคม 2010 13:09 |
Advanced Linear Algebra Problems | nooonuii | พีชคณิต | 0 | 20 พฤษภาคม 2005 03:18 |
|
|