Algebra Nice Problems collection

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

1. จงหาพหุนาม $P(x)$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการเชิงฟังก์ชัน $(x-1)P(x)+1=xP(x+1)$

2. จงแสดงว่าสมการ $4^x9^{1/x}+9^x4^{1/ x}=210$ มีเพียงสองคำตอบเท่านั้น

3. จงหาจำนวนเต็ม $a$ ที่ทำให้ $x^2-x+a$ เป็นตัวประกอบของ $x^{13}+x+90$

4.ให้ $0< a_0\leq a_1\leq a_2\leq ....\leq a_{n-1}\leq 1$ เป็นจำนวนจริง ให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน
ที่เป็นรากหนึ่งของสมการ
$$x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 =0$$
โดยที่ $\mid z\mid\geq 1$ จงแสดงว่า $z^{n+1}=1$

5. กำหนดให้ $m \in \mathbb{N}$
จงพิสูจน์
1. $\displaystyle cos{\frac{\pi}{2m+1}}cos{\frac{2\pi}{2m+1}}...cos{\frac{m\pi}{2m+1}}=\frac{1}{2^m}$

2. $\displaystyle cos{\frac{\pi}{2m}}cos{\frac{2\pi}{2m}}...cos{\frac{(m-1)\pi}{2m}}=\frac{\sqrt{m}}{2^{m-1}}$

[Thgx0312555]

solution ข้อ 5.1 โดยย่อครับ 5.2 ก็ทำคล้ายๆกันได้

5.1 $\displaystyle \prod_{k=1}^m \cos \dfrac{k \pi}{2m+1}= \dfrac{1}{2^m} \prod_{k=1}^m \Big(cis \dfrac{k \pi}{2m+1} + cis \dfrac{-k \pi}{2m+1} \Big)$

$\displaystyle \biggl( \prod_{k=1}^m \Big( cis \dfrac{k \pi}{2m+1} + cis \dfrac{-k \pi}{2m+1} \Big) \biggl)^2 = \prod_{k=1}^m \Big( cis \dfrac{2k \pi}{2m+1} + 1 \Big) \Big(cis \dfrac{-2k \pi}{2m+1} + 1 \Big) = \prod_{k=1}^{2m} \Big( cis \dfrac{2k \pi}{2m+1} + 1 \Big)$

ซึ่ง $1+1, cis \dfrac{2\pi}{2m+1} + 1,cis \dfrac{4\pi}{2m+1} + 1,...,cis \dfrac{2m\pi}{2m+1} + 1$ เป็นรากของพหุนาม $(x-1)^{2m+1}-1=0$

ดูผลคูณรากจะได้ $\displaystyle 2\prod_{k=1}^{2m} \Big( cis \dfrac{2k \pi}{2m+1} + 1 \Big) = 2$
$\displaystyle \prod_{k=1}^{2m} \Big( cis \dfrac{2k \pi}{2m+1} + 1 \Big) = 1$

$\displaystyle \biggl( \prod_{k=1}^m \Big( cis \dfrac{k \pi}{2m+1} + cis \dfrac{-k \pi}{2m+1} \Big) \biggl)^2=1$

$\displaystyle \prod_{k=1}^m \Big( cis \dfrac{k \pi}{2m+1} + cis \dfrac{-k \pi}{2m+1} \Big)=\pm 1$

$\displaystyle \prod_{k=1}^m \cos \dfrac{k \pi}{2m+1}=\pm \dfrac{1}{2^m}$

แต่เห็นได้ชัด ว่าผลคูณต้องมีค่ามากกว่า $0$

$\displaystyle \prod_{k=1}^m \cos \dfrac{k \pi}{2m+1}=\dfrac{1}{2^m}$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

1. จงหาพหุนาม $P(x)$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการเชิงฟังก์ชัน $(x-1)P(x)+1=xP(x+1)$

$P(x)=1$ เท่านั้น

[Beatmania]

ช่วยขยายความจาก อ.Nooonuiii นะครับ

ให้ $Q(x)=(x-1)(P(x)-1)$ จากโจทย์

$(x-1)P(x)-x+1=xP(x+1)-x$

$Q(x)=Q(x+1)$

ถ้าหาก $Q(x)$ ไม่ใช่พหุนามคงตัวแล้ว $deg[Q]=k$ โดย $k$ เป็นจำนวนนับ

พิจารณาพหุนาม $R(x)=Q(x)-Q(0)$ ชัดเจนว่า $deg[R]=k$ จากโจทย์ จะได้ว่า

$R(1)=Q(1)-Q(0)=0,R(2)=Q(2)-Q(0)=Q(1)-Q(0)=0,...,R(k+1)=0$

พหุนาม $R(x)$ มีรากมากกว่าดีกรี ดังนั้น $R(x)=0$ ทำให้ได้ว่า $Q(x)=Q(0)$

ขัดแย้งกับที่สมมุติไว้ก่อนหน้า

ดังนั้น $Q(x)$ เป็นพหุนามคงตัว นั่นคือ $c=(x-1)(P(x)-1)$ ทุกจำนวนจริง $x$

เมื่อ $x=1$ จะได้ว่า $c=0$ ทำให้ได้ว่า $P(x)=1$

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

6.The polynomials $P(z)$ and $Q(z)$ with complex coefficients have the same set of numbers for their zero's but possibly different multiplicities.The same is true for $P(z)+1$ and $Q(z)+1$.
Prove that $P(z)\equiv Q(z).$