อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

[breath]

จาก $t_n = 1+2+...+n$ $=$$\frac{n(n+1)}{2}$
จงพิสูจน์(โดยวิธีอุปนัย)ว่า $t_n = t_ {n-1}+n$
ช่วยแสดงให้ดูและอธิบายแนวคิดหน่อยน่ะค่ะ

$t_{k+1}$=$1+2+...+k+(k+1)$
=$t_k+(k+1)$
ทำอย่างนี้ถูกไหมค่ะ แล้วมีวิธีอื่นอีกไหม?

[Aquila]

จากหลายๆกระทู้ที่ถามมาอาจจะยังงๆเรื่อง induction อยู่บ้าง?

การพิสูจน์แบบอุปนัยน่ะครับ มันเป็นเหมือนแนวคิดของโดมิโน้ล้ม

พูดง่ายๆคือ โดมิโน้บน $\mathbb{N}$ ซึ่งถ้าตัวที่ $k$ ล้ม ตัวที่ $k+1$ ต้องล้มตาม

เราเลยสมมติให้ถ้า p(k) จริง p(k+1) ต้องจริง

เราต้องเอาสิ่งที่สมมติมาใช้ คือ p(k) สมมติว่าจริงที่ $t_{k}=1+...+k$

พิจารณา $1+2+...+k+k+1=(1+2+...+k)+k+1=t_{k}+k+1$

บรรทัดขวาสุดนี่แหละ ที่เอาสมมติฐานของโดมิโน้ตัวที่ $k$ ให้มาล้มไปชนกับตัวที่ $k+1$

เพราะฉะนั้นก็ตอบว่าที่ทำมาน่ะครับ ถูกแล้ว (สำหรับ $t_{n}$ คู่ซ้าย)

ส่วนมีวิธีอื่นมั้ย มีครับ $t_{n}-t_{n-1}=(...)-(...)=n$ จับลบกันก็ได้เลย (ถ้าจริงถึง $n$)

แต่ถ้าให้อุปนัย $1+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$ ต้องทำต่ออีกนะ

เพราะที่ทำมาเป็นแค่การสรุป $t_{n}$ คู่ซ้ายเหนือ $\mathbb{N}$ ไม่ใช่การสรุปสมการข้างบนเหนือ $\mathbb{N}$ นะ