พิสูจน์แบบอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

[breath]

$t_n = 1+2+3+...+n =$$\frac{n(n+1)}{2}$
$ s_n =$ $ n^2 $
จงพิสูจน์(โดววิธีอุปนัย)ว่า $ t_{n-1} + t_n = s_n$ โดย $t_0 = 0 $
ช่วยแสดงให้ดูและอธิบายแนวคิดหน่อยน่ะค่ะ

[FranceZii Siriseth]

ให้ $P(n):t_{n-1}+t_{n}=S_{n}$
ให้ $P(k)$ เป็นจริง ดังนั้น $t_{k}$ เป็นจริง
$P(k+1):t_{k}+t_{k+1}=S_{k+1}$

$t_{k}+t_{k}+k+1=k(k+1)+k+1 = (k+1)^2=S_{k+1}$

[breath]

$t_k +t_k + K + 1$
มันมาจากไหนค่ะ ก่อนหน้ามันคืออะไร
คือเราไม่ค่อยเข้าใจอ่ะค่ะ
ช่วยอธิบายหน่อยน่ะค่ะ
ขอบคุณค่ะ

[FranceZii Siriseth]

เราไม่สามารถใช้ $t_{k+1}$ ได้ตรงๆครับ เพราะที่เราสมมติมันเป็นจริงแค่ $t_{k}$ แต่เราทราบว่า$t_{k+1}=t_{k}+k+1$ ทำไมละ ? ลองคิดดูครับ

[breath]

ค่ะ พอจะเข้าใจแล้วค่ะ^_^
ขอบคุณมากๆน่ะค่ะที่ช่วยจุดประกายความคิด

[Pitchayut]

ความจริงผมว่าจัดรูปตรงๆ ง่ายกว่า induction นะครับ แต่ทีนี้อยากเสนออีกวิธีนึง

\(\begin{array}{rcl}
t_n+t_{n-1} & = & (1+2+3+...+n)+(1+2+3+...+(n-1)) \\
&=&(1+(n-1))+(2+(n-2))+(3+(n-3))+...+((n-1)+1)+n\\
&=&\underbrace{n+n+n\cdots+n}_{n\ ครั้ง}\\
&=&n^2\\
&=&s_n\\
\end{array}\)