พิสูจน์ว่าเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

[Mewmew]

ให้ f : N ไปยัง P(N) (จำนวนนับไปยังพาวเวอร์เซตของจำนวนนับ)
นิยามโดย f(n) = {kn|kอยู่ในจำนวนนับ}
จงแสดงว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

[กขฃคฅฆง]

ให้ $f(x) = f(y)$ โดยที่ $x,y \in \mathbb{N} $ จะได้ว่า

$$\{x,2x,\ldots \} = \{y,2y,\ldots \}$$

ให้ $x = iy$ โดยที่ $i \in \mathbb{N} $

ถ้า$i \geqslant 2$ จาก $x<2x<3x<\ldots $ จะได้ว่า $y<x<2x<3x<\ldots $ เกิดข้อขัดแย้ง

ดังนั้น $i=1$ นั่นคือ $x=y$ จะได้ว่า f เป็นฟังก์ชัน 1-1

[Mewmew]

ขอบคุณมากๆนะค้ะ ช่วยอธิบายเพิ่มเติมหน่อยได้มั้ยค่ะงงอ่าค่ะ

[กขฃคฅฆง]

จาก $\{x,2x,\ldots \} = \{y,2y,\ldots \}$ จะได้ว่า จะมีสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งใน $\{y,2y,\ldots \}$ ที่ $x$ เท่ากับตัวนั้น
สมมติให้เป็น $iy$ ถ้า $i \geqslant 2$ จะได้ว่าไม่มีสมาชิกตัวใดใน $\{x,2x,\ldots \}$ ที่เท่ากับ $y$ เลย เพราะ $y < iy$ และ $x$ เป็นสมาชิกที่มีค่าน้อยสุดใน $\{x,2x,\ldots \}$
จะได้ว่า $\{x,2x,\ldots \} \not= \{y,2y,\ldots \}$ จึงเกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น $i=1$