ช่วยคิดหน่อยจ้า คอมบินาทอริก

[k.fairytale]

ช่วยคิดหน่อยนะคะ

1. จงหาจำนวนวิธีที่ใส่ลูกบอลที่เหมือนกัน 11 ลูก ลงในกล่อง 5 ใบที่มีขนาดต่างกันหมด โดยที่แต่ละกล่องต้องมีลูกบอลอย่างน้อย 1 ลูก และจำนวนลูกบอลใบที่ใหญ่ที่สุดและใบที่เล็กที่สุดต้องไม่น้อยกว่าผลรวมของลูกบอลในกล่องสามใบที่เหลือ

2. สร้างจำนวนเต็มบวกที่มี 3 หลัก โดยใช้เลข 0-9 ได้กี่จำนวน ถ้า เลขหนักหน่วยมากกว่าเท่ากับเลขหลักสิบมากกว่าเท่ากับเลขหนักร้อย

3. มีนักศึกษา 20 คน ลงทะเบียนเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ถ้ามีนักเรียน 15 คนมาเรียน และในห้องนี้มีที่นั่ง 25 ที่ ครูผู้สอนจะพบว่านักศึกษาเลือกที่นั่งได้แตกต่างกันกี่แบบ

4. จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่สร้างคำที่ประกอบด้วยอักษรภาษาอังกฤษ 6 ตัว สามารถใช้ซ้ำกันได้โดย

4.1 ไม่มีเงื่อนไข
4.2 ให้มีสระ 1 ตัว
4.3 มีสระอย่างน้อย 1 ตัวแต่ไม่เกิน 3 ตัว

5. จงหาวิธีจัดลำดับตัวอักษร a a a b b b c c c โดยที่ไม่มีตัวอักษร 3 ตัวใด ที่ติดกันแล้วเป็นอกษรตัวเดียวกัน

6. ในเดือนมีนาคมตำรวจจะตั้งด่านตรวจจับความเร็ว 10 วัน โดยไม่ตั้งด่าน 2 วันติดกัน ตำรวจจะตั้งด่าน ได้ทั้งหมดกี่วิธี

[FranceZii Siriseth]

โจทย์ไม่ได้ยากมากนะครับ 10 กว่าวันก็เยอะอยู้ ลองทำเองดูก่อนไหมครับ เผื่อจะเจออะไรแปลกๆด้วยตัวเองแล้วมันจะจำได้
ผมแนะนำให้ซื้อหนังสือ โลกคอมบินาทอริกของ อ.ดำรงค์มาอ่านดูครับถ้ายังไม่ค่อยเข้าใจทฤษฏี

[กขฃคฅฆง]

1. ให้ $A_i$ คือจำนวนลูกบอลในกล่องที่ $i$ สมมติกล่องที่$1$ ใหญ่สุด กล่องที่$2$ เล็กสุด

ถ้า $A_3+A_4+A_5\geqslant 4$ จะได้ว่า $A_1\geqslant 4$ และ $A_2\geqslant 4$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้

ดังนั้น $A_3+A_4+A_4 = 3$ และ $A_1+A_2 = 8$ ซึ่งทำได้ $3$ วิธี

4.1 แต่ละตำแหน่งใส่ได้ $26$ วิธี ดังนั้นทำได้ทั้งหมด $26^6$ วิธี

4.2 เลือกตำแหน่งให้สระทำได้ $6$ วิธี เลือกสระทำได้ $5$ วิธี ตำแหน่งที่เหลือใส่ได้ $21$ วิธี ตอบ $5\times 6\times 21^5 = 30\times 21^5$ วิธี

4.3 กรณี1 มีสระ $1$ ตัว ทำได้ $30\times 21^5$ วิธี

กรณี2 มีสระ $2$ ตัว เลือกตำแหน่งให้สระทำได้ $\binom{6}{2} = 15$ วิธี เลือกสระได้ $5^2=25$ วิธี ตำแหน่งที่เหลือทำได้ $21^4$ ทำได้ทั้งหมด $375\times 21^4$ วิธี

กรณี3 มีสระ $3$ ตัว ทำเหมือนกรณี2 ได้ $2500\times 21^3$ วิธี

ตอบ $30\times 21^5 + 375\times 21^4 + 2500\times 21^3$ วิธี