คอมบินาทอริก

[k.fairytale]

1. there are twelve points in a given plane,no there on the same line.

a) How many lines are determined by the points ?
b) How many lines pass through the points A ?
c) How many triangle are determinent by the pionts ?
d) How many triangles pass through the points A ?

2. ถ้ามีอิฐบลอคขนาด 1 * 1 , 1 * 2 , 1 * 3 อยู่จำนวนหนึ่งต้องการนำอิฐบลอคที่มีอยู่วางเรียงกันเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 1 * 7 จะทำได้ทั้งหมดที่มีขนาดเดียวกันแต่ละก้อนไม่มีความแตกต่างกัน

3. จงพิสูจน์

n n n n
( ) + ( ) + ( ) + ........ + ( ) = 2^n
0 1 2 n

4. จงพิสูจน์

n n n n
( ) - ( ) + ( ) - ..... + (-1) ^ n +1 ( ) = 0
n 1 2 n


5. จงพิสูจน์

n n - 1
r ( ) = n ( ) , r มากกว่าหรือเท่ากับ 1
r r - 1

6. จงพิสูจน์

n n
ซิกมาร์ r ( ) = n * 2 ^ n - 1
r = 1 r


7 จงพิสูจน์

n n
ซิกมาร์ r ^2 ( ) = n * ( n + 1 ) * 2 ^ n - 1
r = 1 r

[FranceZii Siriseth]

ข้อ 3,4 $(1+x)^n= \sum_{r=0}^{n} \dbinom {n}{r} x^{r}$ ลองแทน x ด้วย 1 กับ -1

ข้อ 5 คืออันนี้ป่าวครับ $\dbinom{n}{r} =\dfrac{n}{r} \dbinom{n-1}{r-1}$

ข้อ 6 $\sum_{r=1}^{n} r \dbinom {n}{r}=\sum_{r=1}^{n} n \dbinom {n-1}{r-1}=n(2^{n-1})$

[Pitchayut]

ข้อ 1

a) เลือก 2 จุดจาก 12 จุด ได้เท่ากับ $\displaystyle{\binom{12}{2}}=66$ วิธี

ิb) เลือกจุดอีกจุดเป็นปลายเส้นเชื่อมกับจุด A จะทำได้ $11$ วิธี

c) เลือก 3 จุดจาก 12 จุด ได้เท่ากับ $\displaystyle{\binom{12}{3}}=220$ วิธี

d) โจทย์ไม่เคลียร์ครับ pass through point A คือยังไงครับ คุณ k.fairytale ช่วยตอบด้วย

ข้อ 2 แบ่งกรณีเอาเลย แต่ก่อนอื่นขอกำหนดสัญลักษณ์ $(a, b, c)$ คือใช้อิฐ $1\times 1$ $a$ ก้อน $1\times 2$ $b$ ก้อน $1\times 3$ $c$ ก้อน

กรณีที่ 1 $(7, 0, 0)$ ทำได้ $1$ วิธี

กรณีที่ 2 $(5, 1, 0)$ ทำได้ $\dfrac{6!}{5!1!}=6$ วิธี

กรณีที่ 3 $(3, 2, 0)$ ทำได้ $\dfrac{5!}{3!2!}=10$ วิธี

กรณีที่ 4 $(1, 3, 0)$ ทำได้ $\dfrac{4!}{1!3!}=4$ วิธี

กรณีที่ 5 $(4, 0, 1)$ ทำได้ $\dfrac{5!}{4!1!}=5$ วิธี

กรณีที่ 6 $(1, 0, 2)$ ทำได้ $\dfrac{3!}{1!2!}=3$ วิธี

กรณีที่ 7 $(2, 1, 1)$ ทำได้ $\dfrac{4!}{2!1!1!}=12$ วิธี

กรณีที่ 8 $(0, 2, 1)$ ทำได้ $\dfrac{3!}{2!1!}=3$ วิธี

รวมทั้งสื้น $6+10+4+5+3+12+3=43$ วิธี