มีโจทย์ 10 ข้อมาให้คิดเล่นๆ

[Pitchayut]

ผมจะเปิดเทอมในวันที่ 14 พ.ค. นี้ ดังนั้นผมอาจจะไม่ค่อยได้เข้ามาเล่นแล้ว ก็เลยขอเอาโจทย์ 10 ข้อที่ผมแต่งไว้มาให้คิดเล่นๆ ใครจะเฉลยก็เฉลยตามอัธยาศัยเลยครับ

Problems

1. จงพิสูจน์ว่ามี $(a,b)\in \mathbb{N}^2$ เพียงสองคู่เท่านั้นที่ทำให้ $a\neq b$ และ $a^{b+1}=b^{a+1}$ ได้แก่ $(2,8)$ และ $(8,2)$

2. ให้ $a,b,c\in\mathbb{R}$ และ $t=\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}+\dfrac{a-b}{c}$ เป็นจำนวนจริงบวก จงพิสูจน์ว่า

$\left(\dfrac{a+b-c}{b-c}\right)^2+\left(\dfrac{b+c-a}{c-a}\right)^2+\left(\dfrac{c+a-b}{a-b}\right)^2\geq\dfrac{t^2}{9}-\dfrac{2t}{3}+2$

และเครื่องหมายอสมการจะกลับข้างเมื่อ $t$ เป็นจำนวนเต็มลบ

3. ให้ $x_1,x_2,x_3,…,x_n\in[0,1)$ จงพิสูจน์ว่า

$\displaystyle{\prod_{i = 1}^{n}\dfrac{x_i}{1-x_i}}\geq \dfrac{\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}}{1-\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}}$

4. จงพิสูจน์ว่าถ้า $p$ เป็นจำนวนเฉพาะคี่ แล้วไม่มีจำนวนเต็มบวก $n$ ที่ทำให้ $\dfrac{n^2+1}{2p^2+1}$ เป็นจำนวนเต็ม

5. จงแก้สมการ $(x-3)(x+6)(x-2)(x+7)=(x+1)(x-1)(x+3)(x+5)$

6. ในการสอบแข่งขันคณิตศาสตร์ครั้งหนึ่งมีผู้เข้าสอบ $200$ คน มีโจทย์ $6$ ข้อ แต่ละข้อมีนักเรียนทำได้อย่างน้อย $120$ คน จงพิสูจน์ว่าเราสามารถจับคู่นักเรียนได้อย่างน้อย $940$ แบบที่แตกต่าง

กันโดยที่โจทย์ทุกข้อสามารถทำได้โดยหนึ่งในสองของนักเรียนที่เลือกมา

7. ในงานเลี้ยงแห่งหนึ่ง มีผู้มาร่วมงาน $30$ คน แต่ละคนมีเพื่อนอยู่ในงานนี้รวมกันทั้งหมด $452$ คน จงพิสูจน์ว่าจะมีกลุ่มของคน 3 คนที่ทุกๆสองในสามคนนี้เป็นเพื่อนกันเสมอ

8. ให้ $S=(2+\sqrt{3})^{2015}$

(A) จงหาเลขหลักหน่วยของ $S$

(B) จงพิสูจน์ว่าหลังจุดทศนิยมของ $S$ จะมีเลข $9$ ติดต่อกันมากกว่า $1,000$ ตัว

9. พิจารณาจำนวนจริงบวกที่น้อยกว่า $n$ $7$ ตัว จงพิสูจน์ว่าจะต้องมีจำนวนจริงสองตัวใน $7$ ตัวนี้เรียกว่า $x,y$ ที่สอดคล้องกับอสมการ

$xy+\sqrt{(n+x)(n-x)(n+y)(n-y)}\geq \dfrac{24n^2}{25}$

10. นิยาม Square Free Number คือจำนวนนับที่เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน

(A) จงหาพร้อมพิสูจน์ว่า Square Free Number เรียงติดต่อกันได้มากที่สุดกี่จำนวน

(B) ให้ S เป็นเซตของ Square Free Number จงพิจารณาว่าอนุกรม $\displaystyle{\sum_{n\in S}\dfrac{1}{n}}$ ลู่เข้าหรือลู่ออก

(C) จงพิสูจน์ว่าถ้าเราสุ่มเลือกจำนวนนับมาจำนวนหนึ่ง ความน่าจะเป็นที่จำนวนนั้นจะเป็น Square Free Number มีค่าเท่ากับ $\dfrac{1}{ζ(2)} =\dfrac{6}{π^2}$

ขอให้สนุกนะครับ

[Pitchayut]

ไม่มีใครทำเลยหรอครับ

[กขฃคฅฆง]

1.

$a^{b+1} = b^{a+1}$

ถ้ามีตัวใดตัวหนึ่งเป็น $1$ จะได้อีกตัวเป็น $1$ เกิดข้อขัดแย้ง $\therefore a,b > 1$

กรณีที่ $b>a$ จะได้ว่ามี $c \in \mathbb{N} $ ซึ่ง $b = a+c$

ถ้า $a=2$ จะได้ว่า $b=8$

ถ้า $a\geqslant 3$

$a^{a+c+1} = {(a+c)}^{a+1}$ หารด้วย $a^{a+1}$ ทั้งสองข้าง

$a^c = {\displaystyle{(1 + \frac{c}{a})}}^{a+1} \leqslant {\displaystyle{(1 + \frac{c}{a})}}^{\frac{4}{3} a}$

จาก $\lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^n = e$ จะได้ว่า

$\displaystyle{({1 + \frac{c}{a})}^{\frac{a}{c}}} < e$

$\displaystyle{({1 + \frac{c}{a})}^{\frac{4}{3}a}} < e^{\frac{4}{3}c}$

ดังนั้น $a^c < (e^{\frac{4}{3}})^c < 4^c$

$\therefore a = 3$

$3^{b+1} = b^4$

ให้ $b = 3^k ; k \in \mathbb{N} $ ถ้า $k=1$ จะได้ $a=b$ ดังนั้น $k\geqslant 2$

$3^{3^k+1} = 3^{4k}$

$3^k+1 = 4k$

พิสูจน์โดยอุปนัยได้ไม่ยากว่า $3^k+1 > 4k$ ทุก $k\geqslant 2$

ดังนั้น $(a,b) = (2,8)$

ทำนองเดียวกับกรณีที่ $a>b$

จะได้ว่า $(a,b) = (2,8) , (8,2)$

[กขฃคฅฆง]

5.

$(x-3)(x+6)(x-2)(x+7) = (x+1)(x-1)(x+3)(x+5)$

ให้ $a = x+2$

$(a+5)(a-5)(a+4)(a-4) = (a+1)(a-1)(a+3)(a-3)$

$(a^2-25)(a^2-16) = (a^2-1)(a^2-9)$

$a^4 -41a^2 + 400 = a^4 -10a^2 + 9$

$31a^2 = 391$

$a = \pm \displaystyle{\sqrt{\frac{391}{31} }}$

$x = \pm \displaystyle{\sqrt{\frac{391}{31} }} - 2$

[Pitchayut]

คุณ กขฃคฅฆง ไม่ต้องซ่อนข้อความก็ได้นะครับ

[กขฃคฅฆง]

ผมกลัวว่าจะมีคนอยากทำเองแล้วเผลอเลื่อนมาเห็นเฉลยครับ 5555

[Pitchayut]

มา Hint ให้

2. ลองแยกตัวประกอบ $t$ ดู

3. jensen กับฟังก์ชัน ...

4. ใช้ความรู้เกี่ยวกับ mod ที่ว่า $x^2\equiv -1\pmod p$ มีคำตอบก็ต่อเมื่อ $p\equiv 1\pmod 4$

6. ใช้สูตรการนับสองทางในเล่ม สอวน.

8. $S+???$ สอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิด...

9. ใช้ pigeon hole + trigonometric subsitution

10. (A) คอนกรูเอนซ์ (B) แยกตัวประกอบอนุกรม (C) ใช้หลักเพิ่มเข้าตัดออก